ГЛАВАХ. МЕТОД КООРДИНАТ
§1. Координаты вектора
:}~А;~· @П)~ @@Ш
б}Н;; ; ,1/.- ' D о
в}it;, ; Н, ,5,; · Q
r)t!;<;AC; ЕН;З;l;З;-3.
Ответ:а}S; 6)-1; в*; r)-3.
Б
1. Равны;леммы;
2. Сумме; одноименных координат;
f; i';
!; f;x,;y,;
5
E~ft\:~ JDJ %; п~СоJм
а}
с
/ I 1\ ,, в
I \ л 's D
J: ~,lil--..- -- гм.-тз
_ _::: ,п "'""' ~ 1~1 ' I t j +--1-
"' ~р ~,
~ _/ -- ~ ~
F б}
а}Биссектрис;двух;пересеченю1; центр; АО
б} Диаметрами; равны; свойство: равны; хорды; диаметрами.
'- k -
~
I 1,
Рх 1,
А'/'_ ' D
11 I I/ ъ- ~ IL
-~ I "'" I I I,-
'" I 1'1 I \ I' h~
к I/
G F
I I 1) Б;можно;толькоодну; 2)серединные;ВС;
3) EF; FG; GH; АН.
а}
_j~'~h - ---т 1...1----Г- IГТП ,- ~/ ;:::, -;::-v -
t\ • ' Г'\ ц-~
If - "' -~
J l ) ,< I '-' ~1 \ р .I тг
"'
_._v ~ -О
о
j,
},.. А
/
~;'Ш~"7:::J~ ~ ~(! ~Cvl1
__ _:~ ~ -~I Лn::: ~1\1 о 1 \j]
" ,t---. r?
><' )
/ t--,_' V, \
'\ I
\ J
\',,_ 1/'/
~~ f']~\ ~~~о Ir--.._ ,,, ,,....
' ,-.., v nu r, -[
11 l_ Jь l;:',U, " -1)~) ~ =~
Старо д~ --- - 9 P,.;18;R;n;2;sin;n;
~;:~Qs,W.~ ~ ~@)М Отв~~~~·~~о~ ш
Б
;;;~If\(~ m ~ n(с;(о)м
12
~~ Ш ~ о @@Ш
а}2;6;2;4;24;2;
6; 2;72;cos;2;ЗJ'i.;
iii(!?&@Ш~o@@Ш
2; 4;45°; 2;!}-; 1.
:;;::'"::б:~~,@~ ~ (s@)M
26, ,· ~ о ш
17
1
Радиусу;
D; DE; EF; F.
1~1 I с
§2. Длина окружности и площадь круrа
А
д"~'~@Ш~ @@Ш
""'"' е, ;д О о
~~~~ ион ьнь ; о
01
2
-; 14;
~TJFfZi.\; Q ~ ~ ГгJ@М От:~~~~W~о~о~ ш
3 Окружности;
i~Wffi,@ Ш ~ о@@Ш
Б пR;
::~~&@П)~о@@Ш
7
i~1WmCc8~~o@@Ш
-
Часть; радиусами; концы; центром.
ГЛАВА ХIII.ДВИЖЕНИЯ
/ТТ
L
_l
==м~
IЦ-JIЦJLЦ 'f-----r'--
I
~,-
-
m;свойству;
АВ;
АМ;ВМ; в,м;-;
б}
т
1\
\
в м /в
1/
1\
,-
А;
треугольники; катетам;
а}
т
,, с
А'-. V А.
~
_,_' "~ q~ ,(6~ Fj~ .hi? ) ( ;:с 1 ~ -~
/ /--, \ -~
r l( V J ~ 1./'- / Jl
в D ,-...
I I I вв,;
MD;
медианами; равнобедренные;АМ; ВМ;+;
-+-+ • I I I 6 1 1 1 A•,t-t-t--t-+-1-+-+-+-+-++-+-+--l-+-+-+--1-J.
--+-t"-t-,-+--+'-+-+---<·8,t-H-+-++-+--H-+-+-+-H-+-+-+-+-+-1-
m;_i;II;
Н; nрямоуrольником;АВ.
д}
т
- 1/ Г'\ rv
~ы u== ~1~o6\_Jsu
Лежа, ~ 3 Точка;
~;~&@Ш~о@@Ш
4
~.~
-; АО; ВО; по определению; ВО;=
б}I U±U I Iii ш lcl I I I I I I I I I I I I I I
-
Симметрия; движением.
S)равныfi;угол.
=i=Ьt@i
l'i
1\
пл=
г-гт, 1/\1•
\
\1 1\
I I I I I I I I 1
\] ] \ I I 1\ I I 1 \1 1 Е-
\
[\
i'
-++-н,-г+++ И r I I I !· I I I I I I I I I I I I ! I
l)Движением;прямая; прямую;
юл,~ill@П)~ @@Ш
две. п о", А D о
~~;:; с ме ичн 1; Q
прямой а;
пересечения; саму себя.
2) Симметрия; движением; луч;отображается;лучР1М1; луча;началом; пересечения;луч.
З) Симметрия; движением;
отреэок г.г:
- --+-+-Нt-1-1-Н\
Ответ: а}да, бесконечно мноrо; б}да, две; в)да, две; r)нет, т.к. отрезки не равны, не параллельны инепересекаются.
I I I
I /1 / м
l J "
1 " 1/ "" / р I
---J~Ь- " I '< I > J~ I I
~ i-il ~'7 is-(1 ~~ I I > А
=jJ:; IL' 1"' /[? 11/ 'r
,,
lм.11 I 11
I I I I -
а}несуществует;непараллельны; б}существует;ВС; в}несуществует;неравны.
§2. Параллельнь1И переноси поворот
-
Б
2.~~ace~JDJ ~ ~(о)м
3. 6 я·сна а 1й.
4Ра;,йо,е~;до, ам· D Г, О t;;1
3
~iWMCc8~~o@@Ш
4
l)AB; 11; CD;
DC;
равны;б;
з) вс,';s'; 100; 10;5
А
~:~~·~т~о@(о)ш
1.а}ОА;
б}ОА;часовой;9О0; в}оnределению;л\f'1а;окружности. 2.а}ОВ1; б}ОВ1;nротив;часовой;90°;
в} определению; пересечения; ОУ; окружности.
\
v
4-Ь
~I lXI 1\
\
I
_LCНL]_Л":::L.nШ_\J_/Il':.
I
I
./
х
-J
I\.,
tll~
1/
\
v"t I J>
\
/
1\
V
l
I
v
§2. Простейшие задilчи в моордииilтilх
_,,
/
вl/ \
R-- \ \
к 1\
1i \ h ~ 1... I IL I ~ 1( .L > J
-- '\ ,\ -J(!._ ~I /г I н
г ' V: l ~) r 1 l
i/
ОН; противоположными; одноименные. Ответ: {-3; 2}; {1;-4}; {З; -2}; {-1; 4}.
-У р
1,,-- ·~
_i:,.; \
-- е
~' .-~ ~- -~~~-1,~ с- ь .L )-1-
--~:л 11ir1\kI И! Ll- ::::
L IL...Jlf- ,_...,_ -1---- -- ~ - - f- ~ f- Коллинеарны;определению; пропорциональны(п.87, Б5);
' l)Параллелен;
лемме;НВ;
~(tщ@~~~о@@Ш
Ответ:а}=з; 6)= -5.
I I I
I l,J/1" ii - 11 1) J.-- ,v
-j-- ~н V-R 11 11 I I, ~ cill...l, Пi jJ
1\ н 1-+-
А L-- I'
В 1/ - 1\
г--- о
-
м
lспособ. Параплельны;
2 способ. Пересекаются; пополам; свойство;
СМ;
-5+5 0+2
СМ; -2 =0; ----т-=1;
i~i\i~{~ Ш ~ о@@Ш
I
LI ~ ,J '/ r ~ ) ( I >-- V
• I ls I I / I'-'
r l'il I \ /'-. / lГ
1\
/
1/
l IL J, .J I >,) f I -' V
11 А I 1~ I J. Л ]µ
Г L l'il I 1 I ,- I '- .J, ,/ ,г
I I I 1)0, расстояния;точками; -;О; 5;25;
0;3.
' I
IJI. IJ 1 :( 1\11 Ц J Ii 71с 11, 1,
в -.rt . к._ 11 rr.,_ ·-IJ-~
I Ir t'i ~- I ]JI( I гr" +~ ~~
I
:__
н о 1/
А
~ILY?y )~ ': j~'
l]BC;~~~~ "-
,/(2-0µ... ' 2 о \...J ::i ./(3-1)2 +(-2- 2)2 = ffo = 2.Л,; =; равнобедренный; 2)°i;медианой;середина;
3) х = о+~-2) = -1, у= -з2+з = О; 4)АВ;СН;
§3. Уравнения окружности и прямой
Координаты; уравнению; не лежит; а}координаты;
абсциссы точки G: 4- х = 4, х = О
Ответ: а}А, СЕ L; б)Е(-3; 1), F(--4; О}, G(O; 2).
а
_u 1,17 1/-r,, ol/_f:
11 I I)
V I - I J 1-
I/I,-
], fi?l'i ,- r] I I l@
-1 1, 1, I !7 .,I--'-
I I I
- - I
I I 1 I
I 3; любому; 3; х; ордината; любому;-2; прямой; х; пересекаются; 3; у. Ответ:З;у; пересекаются; (З;-2).
Удовлетворяют; -;-;52; 5;-;
равенство;
;i:~&,@Ш~о@@Ш
неверно;
не лежит на. Ответ:А, В.
центра; радиусом; отрицательных;
\t?&@Ш~о@@Ш
{5-3) +{-3+2) =5; <; внутри окружности; {0-3)'+{0+2)2=13; >;
Ответ: на - А; вне - 8, О; внутри - С.
Середина;половине;середины;
~}~:·~ ~'ro+s.~1 Ql~-c?,J ~@)М
1,., ~~~о~ Ш
Ответ: , ; ; .
Ответ:а}---о,sМР+о-МЙ; б)МР+МН; в)МЙ-МР; r}-м""ii+o,sМP.
Ордината;О; х;О;
-h ' CJ_ ,,+-- r,L,,+-- +---J;t-;
с ',7 -, 17 д. [::1.1-.L...::_ l
ь н (''"' ,f\ ' 11 ~~
~ у,
~~ ~~ о ~ "+-- ~,~L'
с--. D
'/ t--.
о 1/
'
I а}Ординаты;х;
В;уравнение;
~;~;~&@Ш~о@@Ш
Ь;5;Ь;
Ь;Ь;
аt;О;условию;
обе;
2х-у-1=0. в}Коллинеарны;nропорциональны; -;З;-1;
+;-;
х+2 у-2
3 =~;основному;
+;3;-;3;4 г) Ни одной; k,
_u гг ~ ,_,..,.. __,_ µ= .гп-тт-гм:
• ,=' 111 ~ W
1, -1 ' Is; I 11 J I=
-~ ~ i/ ,~ I \ --·; ~, h, ~
I/
1/
о 1/
' I/
" I/
/
-~ ~1--с :l~:S:7r.\ Q ~ ~ ГгJ@)М '"""::~,W~u ~о~ Ш
пропорционапьны;
+;2;3;3;
х+2 у+4 +;+; ---т-=----т-;
2; у+4; -2. в}Прямой;
4;2;
коллинеарны; пропорциональны; 4;2;---4;2;+;+;
,+2
ГЛАВАХ!. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Б
:;~;I';:"~~ @JО)~о@@Ш
в у
1 ~
н /
/ "
1/
L I I I - \ I IJ о.. r,~
~ ( ,J'll> \-\;: \J - тt l':i / ~I-
' I )< l.l f-. 1У 1п С---1-
'--
~
с ~, А
- о
г-- - /-·- -- о@~~
37°,~,;~6 О, О," ~
1 1п0 1 (---1,,, · о.В) J.....-o~ 1\o;Il= 1--;тl
1157°1( 1\1,-11~1--,J] 4 Равенства;
а}Абсцисса;
~f§Jffi°C~ Ш ~ о@@Ш
б}Абсцисса;4;
"
общая, полуокружности;
О,9;114°;
тупой. в}Ордината;единичной; ординатой;х;
О;
полуокружности;О,85;0,85; 150°;тупой;ЗО0;
острый.
r)Ордината;8;
в
::-~1o'ffi1
З.с""У'" "''ir""'· , D Q о
А
::,:w;:;лrcR JD)~ п~(о)м
3
С""УЩ sоорд"". ш.м,; е~"""". о,;
-1.1.~~ Ш~ @@Ш
а}выпо яе А
:::;:"" " , . . D о О
выполняется;4;<;
('Уt'щз_~
а~,оо,а п; 4д 4 ' ~ ~ rr::J@M
~,::':д:;,""'"""@~~о~ Ш
4 l)Триrонометрическое;
5 l)Тождество;
,,щ(½)',,,±,I -1; 1; ±.Д = ±.{!.
:f&@Ш~о@@Ш
Ответ: _:ii_.-~· ё.:г: 2' -я: Z' fз
6 l)~;определениютангенса;соsа;
Формулы; а; cos; приведения;
;"'""~~~",~)Мv" г,::_~с"-~
IГ I у 111'..... 1...11'- 111 IC 1- 1
I/ "-
D 1'-
1/ I'\ 7 ~
/ 1\
о
11 ~N.Jd, ~~· , I~ 1(1 [' j IV Фopм;J'at~;qpa~ "" [ h '1 '( 'ГU О I Н I
~1;~~;: а s'neь;;i-ta;p 0~ Ov UU
1) Ордината; абсцисса; единичной; О; 1;-1;
!~~:1&"@1]5"~'":@@Ш
60°; 60°; -2;
::::'0011\ Q ~ ~ ГгJ@)М
180°-зurn~u~o~ UU
деления;синуса; косинуса.
:;:~~з,,t11s{;;J_П)~ {;::J@)M
150;3,IП, ~ ~о~ UU
Ответ:а ;3 ; 4,53;2,115); в}-, ;z)-
Не коллинеарны:
параллелоrрамма;
OQ; ОМ; OQ; QP;
пересекаются; неколлинеарны.
9
х -5 5 ..fi.
а)ол= .j(-s)z+sz=- -1so=-2·
135°.
i;~~0~ ~о@@Ш
r) положительной: &JtOy; 90°. Ответ:а}tз5°; 6)63°2.4'; в}180°; г)9О0
§2. Соотношение между сторонами и углами треугольника
1
a}d; Е;2;4,/з; 10/з; ,Гз; 15
:½~'.''';б·,/2~;,в,s;;з,/2~2,,s'; П) ~ @@Ш
в}Ра ы; 1 0°.&6 °;
ii::;'';',"' :r,з D о О
1\
( \
/1
-
_ _L '1/ - 1) ~1 \
у I I I 1/ /. HI
А ' ,,. ' \. I в !I U'- / '- V 11[ Ответ:90°;
А1В1;-ВьА1С1;90°.
::::~[:\ rzl ~ ev @0~ ~окаж~u:LL~п~iм~н~нQоизведен~~uсинус
угла между ними
в с
' -~
I Ix I
V
д ~ ,J l~t~ I I )--v ' f(Q;.: ,-;- ;-iv-1
Sш,"~s, SC А,. ' ,isDc ·- ;" , ,.,;~ ·,~·· ~ дрос
0¾,J,d,S;ILAФli',9f.ds ( О " -< ,d 4),,, КJ _J 1) ВС;АС; 2)синусов;
АВ АС ВС
Ответ:13,14.
1) Площади; 2;С; 2)синусов;
а Ь ,
-=-=-·А·
\~А sl»B si»C GВ
)Ц&45 ~-а ,П)~Rз~@Ш
2 2 4 sin75° 4 О,966 ' ·
Ответ:73,2.
А кеедоетое: минус;
обобщенной; Пифагора.
6 Косинусов; вс'. BC;cos;
!l{f&:~~sШ ~ о@@Ш
Ответ:а}З,5; 6)5,68
1) Ь;е;С; Е;
Ответ:туnоугольный.
Bil.1111111111111•
с ,,,
~ш~~ш :.)~~.:
--,ь-,- вс2+АВ2-АС2 144+689-49
З){LA+LC} 2 ВС АВ 2 12 83
сумме 1639
= 198 ~ 0,828;
~;:4°; 104°.
lfttlf ii.I 111111111111111
с;А· ~~~ , @®@
1) , ; 1 С= 1 0° L
~"' ь .. D о"-{,.,.·~,·,.
u [ s А . 1 В SI 2) и@
В; 10 С
А; с. sin 105°24' = sinSo024' = sin 24°12' ·
74°36';
+;964;
964;770;7,99;
+;0,770;
0,407 + 0,003 с,; 0,410; 964;410;4,25.
tltffi.111111111111111111
~:a~'JQ"q;;J ~ 1) o~(f](p1~
2)косL~~о ~
А;~+ ~
+;62°12';
92+82-52 120
2)~ = 144"" 0,833; •;
-·33°36'·
з)ы012:,'·зз0зб'·
84°12'.' '
§3.Скалярноепроизаедениевекторов
а}ВС;
АВС;90°; б}МАВивё;
отложенные;точки; АВ; BAD;90°; в}АВD;=;
;)A,;~~;,Q Q ~ ГгJ@М ~~?i,~~c_QJ~o~ О Ш
e)0°;t1; ж}180°;t!;
з}А; DA;
г}бО0; д}бО0; е)О0; ж}18О0; з)зо0.
А
!;~f?\~m~n~(o)м
А
Е с
. н'-
Г/
г- ~, hS I/ [ ,...._ I
г:: J__ ,_"' !J с-~
D ... ,<:1;- !) ~ п
11,h ~ ', -
~
I
- I
I Б Векторами;>;
lf~&@Ш~о@@Ш
в
~'1f?f\~ JD)~ п~(о)м
5 1;+;0;
lH~:x~ffiio) ~ о@@Ш
8
~~~ТJf?J::\ ~ т ~ n(с;(о)м
10 Числовых;с;Ьу.+с;
I I I I
i l,J .~ :WI'" !,,I \ ~-J2,,_ '-
ii-::' h ,::.'"' 'с' 1 =
' 'i-'°l -
11( I'\ [ "'-
1,1 Г7 m
----
-';
r---
о "
I I /
'-~ L
- t;1 ~ \ I'~ Г1, ]-
- -f-f " :., IL I \ 1-= t;; -I-
' )
1
I
I 1)-1; коллинеарен; пропорциональны; 2)1;
ГЛАВА XII. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
Б; а}180°;2; n;2;6QG;
не существует. Ответ:а}да,6; б)нет.
