§6.Четырехуrольники
10
::::~, Зс~5 м-~м· ~ ~ @@Ш
12см·Р -3 м 18 - с - ·
om/1sc 1 "'f ; 4 ' D Q о
100
Средней линией;
:::д~.'""'""""~' Ш~ @@Ш
средне "" е ;д о о
~;в:~;4 7~ 1· - 2 Q
-
в с
1/1'-.
/ "
_м I/ "р
/ 1,
L I / 11 1 " 1-J J /
д'\f/1• -1111;;r· 1 •.... \
C.LJ ~~ Ч..__J,-u lLC o=D , 7 "'1 I
u - 1,~ J-----!][~ Медианой;
l'IACD- равнобедренный; nрямоуrольник; ВС;10;
20;
~AD -1- ВС) 15 см Ответ: МР 15см
102 В,В,;4; т.Фалеса;
),~,~~,~ ~ ~ rr:J@)M 8см:1Ц~~о~о~ UU
103 Пропорц~ональныхотрезках;
1) 10 + х; о nропорщюнальных отрезках; б(х+ 10)= 140,x+lO= 23¾,х= 13¾; 13¾;
1:i~@f.\CM7JJ~дa~<6)c?r3p@eMOOpмasaы,
Sх+З~=~ш~о~о~ UU
Зх=ЗО;
Ответ: l)B1B2= tЗ¾см; 2)0F1 = 10см.
105
По теореме о пропорциональных отрезках МС: MD= МВ: МА. Значит МС: (МС+8}= 15: 27;
~~с~&@Ш~о@@Ш
Ответ: МС=10см.
м, N; РМ; АК;
АМ: AN АР: АК; пропорциональных отрезках; m: n = р: АК; АК-четвертый пропорциональный. Ответ:АК.
11
(х+З)см; (х+4)см;
:::::~,-; ~1·@· ~~ @@Ш
4х=ЗО· · Cf!;
::,:~; ':' i О, м s, 4с 1JJc , с U 2, м. О
т I
V ь
·1
/I/
/ /
I 1-t,,1~ ~- (':q ~=~ г-
А '\ IM
Пocrpoa~~[J~ ~:t"~ !"~~-~IC~ ~~,;Е~, ~ r- Проведем прямую m I BD. m n М2 = М.
Отрезок АМ - искомый, т.к. выполняется условие АВ: АС AD: АМ {по теореме о пропорциональных отрезках), т.е. а: Ь с: АМ. Значит АМ -четвертый пропорциональный отрезков а, Ь,с.
Ответ:АМ.
§7. Теорема Пифаrора
:::~. · сSд·~·· @~ @@Ш
б}МР=' 2 'д.; мt; -~ : :; . ~ -0 о
в}СЕ= ., · -15 ·CF 5 о
--
1) АВ; AD; :if;
2)СВ; ВD;СВ.
-
Опустим перпендикуляры ВМ, CN на АО.
ЛАВМ = ЛОСN по катету и гипотенузе, откуда АМ = ON = ~АО - ВС) = 5 см.
Из l\.ABM: cosLA = ~= ~ = ¾Ответ
116 1)
2)
в/
1/'
"
'
"
__ LL I "\ '--1/ =-u .Ihl 11 I .l ,!__~
1'-1 '- IL I 1 I I I t ~
\, al', Г\.J г r () ~ "' ., -<,-~
' 1"-
'
~ "'
с А с в Ответ: l)A;A; 2)В; В.
Условию;
де' - CD'; 202 - 12';
25б{см');т. Пифагора;lбсм;
;~;,о~у~::·:::': СD';@П) ~ @@Ш
15-12, 1 м ;%,с· о о
~~:мА~~ 5 ; . о
48 см; 9 см+ 12см + 15 см; 36 см. Ответ:РАос=48см,Р80с=Збсм.
/~ 1,
I ~
"
I '
-1'; ~у .j id'' ')-Ii' i[__
~~'~;,f0.!i~~} ~'( __ ~)~ о\ l~\______/Gu
ТМК; МК;rиnотенузой;МК;
кт'+ мт'; 225 см'; МК; 15 см; МКР;
13 см+ (5 см +9 см)+ 15см; 42 см. Ответ:Рмкр=42см.
120 Прямоугольный;условию;катет; ВD2-вк';Збсм';бсм;
АК-1- КО; 15 см+ 6 см= 21 см;
~;7~к',".">~: ,~,\[)' ~ r;:::J@)M AB+AD; ~:о~о~ UU
17см+2 см; · см=76см.
Ответ:РАаrо=76см.
Зхсм;4хсм;
Sнм;~~@J~~ @@Ш
2х+З 4 + 7,Alx=; -
MK=lc к= ,Sсм, т-2 М = ,s~. О
отвепг м; см; см , см. Q
АВК; катет;
А82 - дк' = 64 см'; 8 см; BKD;
В02 = вк' + ко' = 80 см', 8D 4,/5 см. Ответ: ВD=4,/5см.
2·5см+8см+16см 34см. Ответ: Рмект=34см.
Серединой; nерпендикулярногохорде;8см; точкиОдоАВ;
~~;~~~0~ ~ о@@Ш
10 см; 20 см; диаметр вдвое больше радиуса. Ответ:d=20см.
ш
Ooycr~f~:po~, "mду~о,s,у~'Гоlм- .
Изl!.О_ (_ - }ь_о = 8 = 4D, к с о
Ответ.О - 2с .9 n t;-;1
126 Прямой;
:Ef~~a:,?r:J ~ ~ ~@М ~т:е~:0Jк21°Шм~со ~ о~ ш
ш
paд,y~fR·~,P~"ffi,"д~,aca,~, "·Гоl' м'
теоре ~ ф аь.0 = К = 89rr, 7 · о
Ответ: OJ' = 7 мi:;;i, И Г"~ tj
128
3)81+64 145;
:;:':'~·::,.&- '•~-707w.т.,.,.~,ттреу,~,""" "~~".
S)a
с. Значит, треугольник построить можно.
2)а<~Шсм~-. , '·iJ"e;"""§"· @Ш
З)с< Ь, , см Ь т, е л и ст итьм ж о
4)Ь<с<; • J;,5 м<а "'" ,, eg" ." ос "~ "' О
Ответ:1 ож ; 2 ель я, З)мо н; 4}непь U
139
::,;~, , ,, "'@· ~ ~ @@Ш
диамет ; А
любая х д туя е р ди ч еDен р кр ~ ньше мQа.
-
>;
>2МА;
141
15 15 В
:)}l&@Ш~о@@Ш
1)
a}sin13°=0,2250; sinЗ1°=0,5150; sin54°=0,8090; sin63°=0,8910;
6) sin17°6' =0,2940; sin4@1°18' =О 6600; sin65°30' =0,9100; sin81°54'=0,99CIO.
,1 ~~ ~ ~ ~@Ш
a}cos7 =О ;ь_с.о 47 = , · со З 077 , с 27°=089 О,
::cos82° 8'001 ; о 8 ° 5 o:l1s 4° 4' ,9 '(:)' st ,9Q.
a}tg20°=0,3640; tg53°=1,3270; tg64°=2,050; tg86°= 14,301; б}tg31°18'=0,6080; tg36°30' =0,7400; tgб8°12' = 2,5; tg86°20' = 15,60.
143 l)ABsinA=Scм. 2)АВсоsА=12см.
3) противолежащий к углу В; 15/" = 18 см.
,1",~f?\''~~ {;::J@)M :::;:~~~~6~ о~ О Ш
Ответ: 1)5 см; 2)12 см; 3}18 см; 4)2:2 см; 5)10 см; 6)30 см.
144
!!lti~i~:;;:;20c;;9@cм. м
;1;в~JillOO~~~c~б~ Q UU
) 9 АС' t9A tg22o 0.4 СМ.
Ответ: 1)9 см; 2)12,8 см; 3)18,75 см; 4)20 см; 5}6,4 см; 6)100 см.
к р
/
v
/
1 l - тJ 11 J lГ ,-. V
~:Attы~ ~'~o\2:)~.__]cJ :/.м~~~б-?:о:7~,80;
20см·О,8; 16см; 2(МТ+РТ};
2(16см+ 12см);56см. Ответ: 16см; 12см;56см.
-
Из ЛАВК(LК= 90°):sinA = *:АВ =~ = s::::0.:, 10~8: = 20 см.
РдасD=4А8=80см.
Ответ:80см.
-
Опустим высоту ВК и найдем проекции АК и СК.
ИзЛАВК(LК= 90°): cosA = *;АК = ABcosA = 20 см· соsЗ7° ~ 20 см· 0,80 = 16 см. Из ЛСВК{LК= 90°): cosC = *;КС = CBcosC = 15 см· cosSЗ0 ~ 15 см· 0,60 = 9 см. Ответ: АК "" 16 см, КС ~ 9 см.
148 l)si11;sin;sin;
2) 1-1- cos'a -sin'a = cos'a + cos'a = 2cos'a; З)sin;cos'a;
4) {sina + cosa}'- 2sinacosa = (sin'a + cos'a} + 2si1шcosa - lsinacosa = 1;
:iii~Ш~o@@Ш
cos2a-1 cos2a-(cos2a-1) 1
S)l -~ cos2 а cos2 а·
Ответ: 1)2si11'a; 2)2cos'a; З)соs'а; 4)1; 5)1; 6)1; 7)+; 8)+.
149
l)cos2a=1-sin2a=l-~=~- cosa= ~=2._·
169 169' ~169 13'
sina 12 13 12
cosa' 13 5 - 5 - Z,4,
2)cosa=..Jl-sin2a= ~= §=~-
~1. -289 ~289 17'
:;~'f?M~@s Ш ~ о@@Ш
zs; s·
4 3 4 з·s=s
144 169 25 5 4)l+25=25; 169; 13·
Ответ: l)cosa = -&; tga = 2,4; Z)cosa = N; tga = ~; З)соsа = ¾; sina = ~; 4)sina = -&-
в
~
- -~ -~ -~ - ~ ~
го- r e\~r .'ci7 / I ~ 1"'
~-~
11 " \ I ~I /L -, - \ "' ,__,
~ V'- / Jl
\
с А а -
180°; В; ВАС; ВСА;
180°;
ACD; D; CAD; ACD; 180°;
LB+ LD + (LBAC + LCAO} + (LBCA + LACD} 360°; 360°
811181
Значит искомый угол - это уrол В nрямоуrольного треугольника АВС с катетами АС= 8 ед., СВ= 3 ед. Построим его.
Ответ:LВ.
153
г, 1)2;1;1;
::::n::·+,:;;¾'~;ft~~~ ГrJ@)M 4)4,inЗ"ctЬ~~O~o~ о ш
5)2tgзo0 - tg60° + 4sin2 60° = 2 ·-· Гз + 4 · (-3) = 2 +4 ·! = 5
3 2 4 .
Ответ: 1)1; 2)0; 3)1; 4)0; 5}5.
I/
I/ "'
IA ')
Высоту, HJ , '- lo'''~ ;@{Ь" ~
•
AO;CD;
ABD:CB L:.J о \__.:_,/ прямоугольные; 1-;
nрилежащие;АВ·соsд; б,/зсм; ВС·соsС;бсм. Ответ:6,,/з;б.
-·
МР·siпР;б,,/зсм;
2) LB= 90°; тоrда ВР МР · sinM 12 см· ff- б,fi см. Ответ: 6,,/з см; б..[2 см.
-~ 1\
1,
с' .. ' ' (Г\... м ' tr / i\,-
1) 18) LЯ!n '~ 1if::i1,1 ~ ~~t~~1:: J_ь _
, t__;/ ~ "----:../ ~c_]u -
смежныхугпов; 2)A8cos8;
4Jз см·¾= 2Jз см; противолежащиfi;
ABsinB; 4..fj см· 11- = б см.
Ответ: 6 см; 2,fз см.
-
BD: cosLBDA= 16см :1}="7з'см;
противолежащий;
::~e:~::DA * ::~=~ ~ * :~м;
-
ИзЛМКЕ: cosM =мк; соезо" =~: МК = бсм =f!-=½ см= 4,/зсм.
LM = эо", значит КЕ =¾мк = 2,/з см.
Ответ: 4v'з см; 2Jз см.
-
Из ЛAFT(LA= 90°): sinLFTA =~;FA= FT ·si11LFTA = 24см -~ = 12,Гz см.
Из ll.FBT{LB= 90°}: sinLFTB = ~; FB =FT· sinLFTB = 24 см·!!-= 12/з см. Ответ: 12,ff. см; 12,/з см.
160
1)2E~F.'{jr;,:;J ~ с;; ГrJГп'\с;-v-? 2)oк-j4LJ6~f\~) О J ( ff] n\ '-">\О)) t1 ~
16 LА;ЗЗО0;2х0;4х0;
:;;:'~\4,~5GJ,0ЗЗО;@П)~ @@Ш
~::~::;<·0~=20; о о
Ото · • 0 Q
радиуса перпендикулярного хорде; ½Ао = 7з см= sГз см;
АС= cosA = 7з см= 10Гз см. Ответ:10,/зсм; 5,/зсм.
в
V \
/ \ \
I I I"' фClflf't) / J ~ d=~l!=~
А • 1 1 r~ ,r_ I ( с""
Провед~ l~"""a,l,~J"-z=-l0,~дkз~;;r?,,y~д',к)( ~ равносторонний, а четырехугольник KBCD- ромб. Откуда АК КО= ВС, АО= 2ВС = 4,/з см. Из ЛАВН: ВН = ABsinA = 2./З см· 1!- 3 см.
Ответ: AD= 4,,/з см, ВН = 3 см.
165
Om,~~~JDJ ~ ~(о)м
l)a)sin < 1; )in> пр
2) аюоэп cs/ ;.fio со D Г'\ О tj
§8. Декартовы координаты ка плоскости
_о ,_- -1- -- 1- ~ -
F ( ~ -о' " сН
I I /,_ \ I \Ь JI / ILi l- I'\ -1-
-
и... -- - - 1- - 1-
Ответ: ill;4; ,/fo;2.
171
4;2~~3- 2+S~5; (З(Е·S· @@)
-5+ 3 о
-,- - , 2 - ; ' 1). о
Опе,1))3;~ ,eee,;wo~Q ш
-
Своиству равнобедренного треуrольника; 2 = 5; 2 = 1.
Ответ: D(5;1).
173
~~:"J:"t!~"~cQ.~-1 ~Гn'\о. ~ Отве;:0}1~~-; \ \ ~ ~ u) ("ff] n" ~~ u )~ ~ ~
175
i{~~&@Ш~о@@Ш
'
{ 1"'-
'
' '
--~'- -~ -- ~- / г--.. -
i<> r ,,. ~ I fl', 1 \ v/ 11г~ ~ l
А с I\ q J I ( L Ir I - J
-~ ~- - t--- - ~ Е\:\:: ~р~:~ :~~5:: =:_ ~; :~ == ~+: :. З.
КЕАС,АК=СК: х.=~= З; v.= -l2-з = -2. Ответ: М(l;З),Р(-1;2}, К(З;-2)
177 а}
"
с
в / ---- - 1\
I с 1/ / в ~ \
IL I 11r-1 I 1/1'\ I LI J I I /i " \,1 I
о • \ ,1 с:: lд I I!'- о 1---n
71-.: 11' I L г, J 1
о А
6)
е}
Ответ:а}В{О;2); б)D(О;-1}; в)С(1;3).
к р
' ~~
I Ix I
V "
~ 1 т I t J ioL_ \. I' -1 1/' tJ' IV
-\l1ы~ 1~·~·0~~_.Ju z;xp = 2; -2+Хр =4; Хр =6; z ~ УР = 1; 2 + УР = 2; УР = 0. Ответ: Р(б;О).
179
B+++++++++++-~r I I I I I I I I i-++++++++++-+11111111111
:)~:~~~4П) ~ о@@Ш
А(--4; 1} 2)
2 +хе
-2 = 2; 2+хс =4; Хе =2;
З +Рс
-2 =1;З+ус=2;ус=-1;
С(2;-1}.
Ответ:А(--4; 1),С{2;-1).
-11
Ответ: параллелограмм; параллелограмм.
181
Рад,~m,; ~JO)~ ~(о)м
{2+2 + - =2 5.
Om,s~ О Г'1 Otj
182
АР~~~,-~~ ·rn-m~-. ~(о)м
АР=, НЧ ЕЛО .(;5. D о н
Отвегпёи а е'/\?'· Г) ',r'
185 Условию;
~\)f&@Ш~о@@Ш
186 А(х;у)ЕОх,значиту=О. АМ = МК; АМ2 = мк', т.е.
;:::~1':;·~'@i'.,-;,,6~; П) ~ @@Ш
16,01· • D о
;;,:~, · I Q
Ответ:{1;0}.
(Оае~,Щ Сс5(о)м
мк - 2 + 2- 6) - 2 4 5 ·
КР~ 4 9 'I,,( - ) • 5 +4' 1 , () о ~
191 1)(3-1)'+(-3+4)'; 5; верно;
!;В{:~;-:{.};.•~05 "@"; "~""""о~а, '°~"' нело 'D:" шIУ "о .
3) С( 1, }, Д Г\
{-1-1)' ( + )' 5; +1 5; - -IJp , на рина ж ок н .
4) D(0;4
{0-1)' + (4 + 4)' = 5; 1' + 8' = 5; 65 = 5- неверно, значит точка D не принадлежит окружности. Ответ:А,С
19 l)LBCA;
внутренними накрест лежащими;
193 1)4;2;9;
::';~~:::'@~0~ @@Ш
::;;;\ 5; А о о
Ответ:1 ,·,, , ,б; , , ; , ; 1; ; ;р
1) Радиусом; 3; (х-5)2+(у-3)2=9
2) Запишем уравнение окружности с центром в точке M(S; 3} радиуса МВ 5: (х - 5)2 + (у-3}2 = 25 Ответ: l)(x - 5}' + {у-3)' = 9; 2){х - 5}2 + (у-3}2 = 25.
196 {О;-2);
:,",:'.m·aaaeж,;@r~~@@c~
(i;о),т 3 3 0А2 О; О - н .зf)чи ,т кв рина е и нн0ря fi
Ответ: О· К ;О. Q
197
А: 2 · 2 + 4 · (---0,25}- 3 = 4-1- 3 = О, значит А Е m;
,,,.~ffi'~- §'~ @@Ш
С- 2· · 3= - = з т Е ·
D; 2-_s'+ · -2 -ft= О 3 =- ~ ,зQчи D О
ответ. А . о
198 1)4·3-Зу+б=О;
i:1:~fu@aff,,~ о@@Ш
199
1)
О;х; х;---4у+8=0; 4у=8;2;
0;2;
О;О;у;О; х-4·0+8=0;
}~:[email protected]~.A~ о@@Ш
mnOy=B(O;y).Torдa у-9=0; у 9. ЗначитВ(О;9).
3)
m n Ох= А(х; О). Тоrда 2х -12 m n Оу = 8(0; у). Тоrда З Ответ: 1)А(О;2), В{-8;0);
200
1)
2-Зу; 4-бу+у-9=0; -1; 2-3(-1}= 5; 5.
2)
+{з:х~Jу~~ :оо; 1·2
8х-8=0; 8х = 8;
х = 1.
1 1
у= z(Sx - 3) = z(S · 1- 3) = 1.
Ответ: 1)(5;-1}; 2)(0; 1}; 3)(1;1}.
201 Равна;
[~~§!l&@П)~о@@Ш
202 Равны;
[~~If&~П)~о@@Ш
203 1)
+{~х-};=::~; 1-2
Sx-15 = О;
х = 3.
у= 6-2х = 6- 2· З = О. З;О;пересекаются.
2)
+{з:-=-з:у~~:Оо; 1·(-З)
:::,:±fffi@П)~o@@Ш
3)
+{~::~~~~=~·; l.z
Ву= 7; 7 у=-. 8
Система имеет решение, значит, данные прямые пересекаются. Ответ: l)пересекаются; 2)параллельны; З)nересекаются.
I I I I I I I
_U J I I fl I .J J 1 1 '7
I'\ / • I lcr+- ,, ~- I / ' ~ " -rг I I
le ,1 , "1 111 '- Г1 -'j-'7 irн-~
\
' "
q \
'
1/ \
11 IQ- , __ --- - (s.,-'-- ~v-
::c4; I ,2 А D I О'\ l ~ Г
,-4с · · 1 · __,/ о '-.Juu
21 с=О;
х=1,тогда2-у О,у=2. ЗI
Параллельна; Оу; ;t;
2х-6=0,2х=б; 3; З; Оу
41 Зу+б=О,Зу=-6,у
Прямая m, проходит через точку (О; -2) параллельно оси Ох.
:~·,~м,r;;J ~ ~ ГгJ@)М ~:ля::tзш~.ш(l~ о~ ш
206 1)2.
2) Все точки прямой m, имеют равные ординаты у -3. Значит, уравнение прямой m, имеет вид: у=-3 илиу+З=О.
;:_3оЩГ:\ Q ~ ~ ~ГС)\~
:; ~сет,1ЦJу~я~иL~:1Qт~S~~~dfj"Сjвид:
х=-2илих+2=0.
Ответ: 1)2; 2)у+З=О; 3}3; 4}х+2=0.
207 1)-Зх+4;-3;4.
2)3,~· - ~
::=:,01,•;~2В му ~,r:v ГrJ@M
S)x-y 4= Швом ~1~ о~ ш
208
2) -fзх+Зу-3 = О,Зу= .fзх+З;
з11!:~~:~~ ~ ГгJ@)М ::;;;-1Ыы~;с!;'·~ о~ 0 ш
6)-х+у=О,у=х; k=tga= 1,а=45°.
210 l)0;0;x. 2)~=2;
:~.~~~@Ш ~ @@Ш
~~:=-}.-1:1,-;:_½- . о
Значит, уравнение прямой МР имеет вид: у= -? -¾Ответ: l)у = х; 2)у=2х-3; З)у=-Зх-7; 4}у=-¾х-¾.
211
1!1:w.a Q ~ ~ ГгJ@)М
5)180;~JнkiJ1;~o~o~ UU
6) 180; 60;-tgбOO; -,/з
-
1) при а< 90°, cosa > О; <.
2) 120; ---соsб0°=-½; >
::~5~~\,. "· s· ,.~, ",m;·~·· ·"~" ,,',,@· @Ш
5)45; 4 · - 4 di-1 >.
б)sina> п < < зн ит, -6 ,а= 80 -6 ".(!} 0• о
7)cosa 18 , ачит, - - =
Ответ: 1)45°; 2)120°; 3)30°, 150°; 4)45°; 5}135°; 6)60°, 120°; 7)135".
213
1)1-~=*: 2~;
Тm@П)~о@@Ш
Ответ:1)~;~;2)13;-2,4
214 1)1-siп2a=l-"i6=-fi,;
-в.
~f~J}) ~о@@Ш
Ответ: 1)-'f; *; 2)-2~; - 2Jм.
215 l)~=fo-;>;
условию tga > О; {lo;
~~4S,~~~oCS@W
Ответ: 1) 7to: {lo; 2.) - S; S·
§9.Движение
-
Ответ: 1)>; 2)>; З}неявляется.
в 'х
Е =
м
'-\ F, '
'
~I-'- ' cl- . '
-, ~ -\"' -1 [ ~ L
1-' 61 ~i--
~ ~
Ответ:
2) СМ1 < АМ, М1К1 > МК, К1Р1 < КР, CD> АВ; 4)неявляется.
_j
и· 'Ji'-,<_ __(_ ' I
!-'С:~ "I cct _:: ~
~ ~ сг L< ' '
~ f I (_ '
~ в,
_J _J
,; .' Ответ: 2) А1М1 = АМ, М1К1 = МК, К1Р1 = КР; З)является; 4)является.
п
~:~:wf:\~JDJ~n~(o)м
223
~;:::~' ,а ey~se saA~C т ~ @(о)~
2)меди а е гоЬ.ь к А, ·
З)биссе р са p,ro ка ~,с. О С) о
Ответ: МК = М1К1, РК = Р,К,, МР = М1Р1.
1, А
-
" i, '\
I
I
f¼\ ]\/ ~ If! l I 1/' '
QI I--, l'v
_-'с. , \ ''-' I 11гnL]-i]( ,11, It,-; I ~-
I "" j ~L
I I l 1' Пополам;=· условию;=
свойству параллелограмма. Ответ:nараллелограмм.
Ответ:однаточкаК.
228
Сере~--:"~1,~';' т· ~ Сс;(о)м
(1;1); 1; 1. А
От, {- I~ . D () О t;;1
к
, 11~
\ "
,v А I "
" 11 ll,L 1 I/
А п; 1м=~ 1 IV
,J l,J I~ т, лL у
Т4 I " ~·- +--
I I 1,
I I I
' I
I I I 1) семи в се611; лежат на оси симметрии;
2) перпендикуляр;= Ответ:М,КР
А в
V V
/ м / к
о" '
-- u I h-1 ~",t- _I"" 1 V
~I 1~1, -r,= "1k "° ->-
11 ~ 11 в I ,I 11 ~->-
1, 1,
1) Сами в себя; они лежат на оси симметрии,
2) перпендикуляры; CD; М; К; АМ; КВ. Ответ: ромб A181CD
1/ '
I \ I
/, "
- 1\
~ -~ \ - ~- -~ ~ ~ I- ~~
' 11\J,1 у '{ ,I'-- у L t7 / Ir~ ~ j
I 1/1 I 11 / L ci ~ I '-1"-. ~ -~
l Jl JI I., V L~ _J '-- ~v ~/~ ~'
I I 1) Од; перпендикулярна; Од; А; Од; 2)окружность;01.
Ответ: Окр. (01; Од).
в " с
I I'\ 1 / 1\
I/
I 11 1\
\
_j_!J ~~) 1111 I ]о I i\111)-·{! I 1/ ,_ l'v
л 111 ~11 111 I
r ~r 11 r 1/ 11 \ ;1" 1" ,,
I I I I I Искомая прямая - это ГМТ равноудаленных от двух заданных точек, т.е. прямая а - серединный
Ответ: серединный перпендикуляр а к основанию трапеции.
" м к
\
--а ~ \ I
с--
_1-J ~~ :i ;J с. у Х I '\ d-~ -'-
j~ "" I .1 ";Jt
-- \ "' 7; -,: л ~ -'-
' 1
л
с в с в
I I I Ответ: l)a; 2)точки С, А, К должны лежать на одной прямой.
в
I\
-- --~ -- - - -
~ l,) I''-- " \ IL'7I/ 11,- ~ 1
А '\I I с\ I \JI } 1/ n- \ -~ '-- J
I Iv С--"- J_- I~ ~ I'- r---/ ,_ V- JL_µ
к I
I l)BK.
2) Если АВ АК, то прямая АС будет второй осью симметрии.
м
I/ г,
I.L ''- ' - ' '-~ '-~~ ,_ ,>--- - f---
I" ''t г,,1:1; j}л ,,.__, L1 IL J/71/ I , ,- ,
'" j \ 'I/ 1,г ,_ \ r- ,~ J ,-
'~ llU pl--. ].лJ f--- IL'- '--- I'- - f- f--- f-
Ответ:{О;-2).
I
Q
1)(-3;-2),{2;-1); 2)равнобокаятрапеция;
з1(-¼ФН-1f)
4)МК=З
к к,
l'-sv. I\
,-~ ~F
I.?' о "'
~ -~ --~ -
I'\<> Ir \ I t'- 1 " \ L 17V I Г>-- ,.._ l
I с " I J И 1( L I г.\ f:: -
- ...J ,-~· -f--- -- ~~ ~ ~ 1)./(З + 1)2 + (-1-2)2 = ~ = ,/25 = 5, З)КК1ММ1-равнобок<1ятрапеция;
4)МК=5;
s);(MM1+KK1)=i(2+6)=4.
Ответ: 1)5; З)равнобокаятрапеция; 4)5; 5)4.
D
'
1, "
Ar---._ О С
' дN 'f-(t "1 '}'kцh1':-l,t::OI ~J.:,: L-
I Iii-I i(j_ Г71( 1 П 1 \ 1 ,, 1,~
l I 1 1
1) Оу; (4; О); D симметрична В{О;-3) относительно Ох; (О; 3). 2)N+32=,,/25=5; 4АВ=20.
3)0{0;0}; 4; Аи С
Ответ: 1)(4;0},(0;3); 2)P,..cv=20; З)А(--4;0),С(4;0).
-м 1"---
е--' jL f-' !-' ;1'-
ДI +- ~"' IL- ь..: М
I I"- I j._i ~ r- !L U- Н 1::: 1 ,
I ~ ,:,' l+-1c~ :-11 ~
~н '-+-'I" ':_; .liif- -
..µ ...щ 1-' -
' ' '
1)0М1;(2,5;2,5};у=х.
2) В ЛОМ,: ОА = ОА1, значит перпендикуляр ОС является медианой треугольника ОМ1, т.е. АС=А1С. Тогда хе= -s2-2 = -3,5; Ус=~= 3,5.
Т.к. С(-3,5; 3,5}, то уравнение прямой ОС имеет вид: у Ответ: l)y=x; 2)у=-х.
А,
1/ ~
/
,,, '
11 ''-1 - '., J.\_ Г\ I ~ I ( - 1/' -1 IV
~ А I 1,v1- 11 I 11 --
r 'зг' Iii/ \' "" 1/ -1 \ )1\. 1./ ,r
о А
I I I I ответ. отреэок Аль.
241
-~ ·---+-+-+-+-+-+-1i1•+-+-+-+-+-+-+-+~
Ответ: равносторонний треугольник КММ1.
А
1,
"
UL I~ /1. i'\ 111_ 1 I 1 1/'Ь l'v
NI\ ~ 11- I I I
I I Ir" I \ - 1/ ~,1 \ 1;1, 1,-, ,,
v 1'-1/
с Vв
I I Ответ: равнобедренный прямоугольный треугольник АС1В1.
-
Ответ:А; 180.
244
-
Ответ: М; 360.
'
"
,-1.~,~1--- ,---- ' г-1- г~~ / с... -
"'"' г Ь (1/'f\-1 _\ ' / 11r- I
\ '- I/ L l Ir\ с J
,_ L~.o. ~µ -~ ,_ ~,~ ,- - - -
" ':-
[, Ответ:(-1; 1),{6;-З),{2;---4).
-
Ответ: параллелограмм DCC1D1.
248
-
Ответ: Окр. (01; Од).
-
Равный;несуществует.
Ответ:несуществует.
250
Окружность; равны;
251
"'"·~·~ю~, 'ffi" ,о~),рад~~м'"""'
иэме ~: "k ав "" о "ОРУ" " ет еи ,[ {Al' 5.
Ответ:{7 -1- у97) = 5. Г) U t;-;1
а}
I I I
" I I
1/1, А ,_ " ~ в
/ 1, " I, .v
l/ JI. 11 111,, Ix I 1..J) 1 1 У:,Р J1G j If
- А 1, -W I '/ r~ л ;,Ч 1-С-
,I" ,,1, I jl Л 1/ 1) ТТ1 v ' I'- 1,~
1"-1/ - в - '
с I ID
I I I б}
е}
253
~,:~flXrRYo;'~·~~CoJм
254 1)
Свойствупараплелограмма;
х,, = -Z2+1 = -0,5, Уо =~ = 1,5, 0(---0,5; 1,5);
~:::"i, "т-sA"l,53"~~ "', ",if\,:,:c:;;·5,y,т;::i@)м
Хр1-3+,5 ,, -+,5-6,5, ,5~5 ~о~ ш
Хп= 1+ , - , , т,- +2, - , , 1 , , , );
{---0,5;1,5). Ответ:(---0,5;1,5),(1,5;5,5),(6,5;6,5),(4,5;2,5).
З=S+а,а -2;-1=-З+Ь,Ь=2.Знач~т х1=х-2,у1=у+2;
256
1)3 б+а,а=-3; 0=2+Ь, Ь=-2.Значит х1=х-3,у1=у-2.
-
Ответ:
1) СВ и DA, ВС и AD; 2)СВиАD,ВСиDА.
111~111
Ответ:
2) АВ и А181, ВС и В1С1, АВ и В1С1, ВС и А181; З)по11упр11мая81А1
-
l)AM и ВР,АКи ВТ;
2) АМ и АК,АМ и ВТ, АК и ВР, ВР и ВТ.
-~
-
_о -~ - '--~ -- ~ - f--
• Ir 1W' ~ "\ IЦ7j/ I г.__ ,-- 1
I l, \ \! J 1 ILL Q~ \ ~г, ,__ J "" ,~-~
,__~ ' ,-- ~~ - ~ - ~
- о Ответ:
1) А81 rt со., АВ1 п ВВ,, АВ1 tr оо., CD, тт 0D1, со, п ВВ1, 8В1 тг D01;
2) А81 Н РТ,, АВ1 Н П1, 8В1 Н РТ,, В81 t! ТТ,, со, t! РТ,, CD, t! ТТ1, D01 Н РТ,, D01 Н ТТ1.
261
1---+-+-+-+--1--11111+-+-+-+-+-+-+-+
Ответ:АВ Ila.
26
-
262
:i:~ffi~JOJ~n~(o)м
/f-- "
I I
I 1, I
\ IL -
f--,,.0 =-- к-~ - ,~-h ,__ ,,.- t-._- -
Cr I, •. rl" \" 1/ I Ir~ j >а, f---
I , \ \\ \. с, JI II L n,r \ ~,..._ -
l IL ~ !"'~ -- ,-- ~,~ ,- - - -
I l)параллельный перенос.такой.чго с э- с.;
2) симметрия относительно серединною перпендикуляра п отрезка СС1
А , м
1\ /
-- 1-\
~, - ~ -~ / ' I-
-- (-Ч r.~ Г\ - I ......, j ,-
А
1/ I I '-' I LI I 1( L fr\ Iv -I-
к f" - -1- - Ответ:
1) симметрия относительно биссектрисы 11 угла АОМ;
2) симметрия относительно биссектрисы 12 угла МОВ.
§10.Векторы
269 Ответ:
1)~8 -,~- КА~А, ~' ~ @@Ш
2)~ , С_!:_ А В , ,кlr),A , 1 АК; о
з11вс1 I , I I о , И О
-
-
Ответ: ВС = AD, ВА = CD, АО= ОС, DO = 08.
-
Ответ: 1) ВС *- DC; 2) АМ = МВ; 3) АВ *- DC; 4) КМ с/= DA; 5) КС = DK
274
~:,~ff:t~·~~·~~(o)м
275 6-2=4;
i:::;wf.к\,.r,;:;l ~ ~ rr:J@)M ,,,~:,,JJW~o~o\.2::) Ш
280 1)
Jc2.,rз/ + (2 + 4)2 = №; Jс-21з/ + (2 + 4)2 = #8; Jс2л + 2Jз)2 + с2 - 2)2 = щ;
~~~0~~ Ш ~ о@@Ш
с~,rз, ,1, Jс~,ГзJ' + ,, ~ ., '"'""' 1ом1 ~ 1ок1 ~ IDPI От, 211ом1 ~ 1ок1 ~ IDPI
281
~I~~@П)~о@@Ш
283 а}
- СУСС\
б}
е}
Ответ:а}ВА; б)АС,ВD; в)DA,DB
284 а}
I I
, ,_ ;,
I I'- ~ I
I п "
'·, . \ l ,1 r L CJ
I с= i: V -"
> I 'JI s \ J
' А f..J i
'-J ~ ,.._.
I м
I б}
,}
Ответ: а}МВ; б)МВ; в)МВ.
285 а}
Ii I I I
l I м
ь } I
" " ~ ,.__- '-" к
"'
-~ix, .'-~f~c:.., Ji IO,.f)~ ;\ '-1
f ~ i<:t.: "-
__ ,~JJ1c ~ к \'С; I! ,~ \" ~ !<=~ :i::>, о,,_~
If- ,-_,А 1-'c,J
l с--- ,. А
1 r I "
I I 1 б}
а}
Ответ: а}МА; б)МА; в)МА
-
Ответ: а}СВ; б)МК; в)ВО.
290 1)
I I
! ' ' '
а Cl,- '' о ь-
ц. I 1/ q I'\ 11,~ . 'а V
а I I I А )~ с I ,-.. I
I\J Ir 'i n i\. I '/ 11 !\ ll "' /
' \1/ n -
\ ' \ '\
I 2)
3)
4)
-~-
По сеойсгву паралпелограмма:
1) ВО= OD, АО= ОС, АВ = CD, откуда l'IABO l'ICOD по трем сторонам;
2) ВО= OD, АО= ОС, ВС = AD, откуда l'IВOC = ЛАОD по трем сторонам.
-
За . _ С
-
Ответ: а}АС; б)ВС; в)СВ.
Ответ: 1)(8;-9}; 2)(-17;26); 3)(-5; 7); 4)(3,5;---0,5).
296
Опе~~~т %; ~(о)м
l)G - ) rt ( - ,
21ан с ~ ~ r )i ~ з) О 11 О tj
297
::'~Н\Щ~ ~ n~(о)м
300
-
1)2:ЛС;
2)АВ+ 2АС.
301
1JDC;b; 2)DA;AB;U+b;
::~~fu Q ~ ~ о@@Ш
б)~~~;~аш~о
7) DA; АМ; 7i + o,sb.
-т
Ответ: a}ABCD; б)МТКР; в)АВСD; г)МКРТ.
-
По свойству параллелограмма:
МР +КТ= 20Р + 20К = 2(0Р + ОК) 2(Рко,, - КР)= 2{25 см -10 см}= 30 см. Ответ: МР+КТ=ЗОсм.
302
Zк=¾СВ=¾Ь;
309
15 3
:i::::~;@@Ш~о@@Ш
310
1)0,5·~· ~-., ~ ~ ~(о)м
2)-3· + 2 · С d·
З)m k0 l О, ·i : . ое.~- Г) О t;;1
31 KBMD;
~::"~::'.'"":"g°''~--~~'@iBCD· П) ~ @@Ш
КВМD; " " " D ~ о о
KBMD м; .
313 1)
~=,/Io; .j22+(-1)2 =/5;
З· 2-1 ·1=5;
t~Qr"~~~ ~@)М
а ь~1Urn~'t::, ~ о~ ш
casL{Ь,a) = ;d. Js = fl-; L(ь,а) = 45°_ Ответ:1)45°; 2)45°.
Oтвeт:ii,b,d,m.
А
!-1
V 1/
)
-
о
L lJ I \ 1) 1_ '\ r-r
\ I . \ IL I I / / ,_,
I г 1( \ [ I~ /1\.1 V 1\Г
I 1)(2;4); 2;4;
{-3; 1), т.е. 08 = -зеl + "ez. 2)-;{5;3);
•.,
1,
1, ь ,,
" al/
/
- -.,· -,Lr- - -
"" i.r~ ,-R 1,-,
1 r ,_ \ \J J / 1/ ~g_1- 1'--, .., ~~
ил, UI,
-iл- ~ L, - - -
Ответ:1)45°; 2)135°.
IIIIIIJ.11
NP;
условию; 2х+2(х+8}=82; 4х=66;16,5;
MN= РТ= 16,5 см, NP= МТ = 24,5 см. Ответ: 16,5 см; 24,5 см; 16,5 см; 24,5 см.
35
Пусть одна сторона х см, тогда другая {х + 10) см. По условию:
{{~~@Ш~о@@Ш
2х;свойствупараллелограмма; Зхсм;
;;,:;~_,:. ',lli·. 7;g_ ~ ~ ГгJ@)М 3·28с= м. ~о~о~ UU
Ответ: 5 см, 84 см, 6 см, 84 см.
-
односторонними;
ВС;АВ;
LB+ LA= 180°; LBAD 180° - LB= 180° - 130° = 50°; LDCB = LA = 50°
Ответ:130°;50°;50°.
-
LK и LР-односторонние при параллельных МК, РТ и секущей КР, значит LK 180° - LP= 154°.
~;в:~:;о~~::~о1;:~.йству параллелограмма.
-
Ответ: a}ABDC; б)КТРМ; в)АВСD; r}TMKF.
40 180;
;::~:~Q"(ql ~ ~ ГгJ@)М Отве/~~~о ~о~ ш
-
- з:::5
45
е.век- LKAD по условию, LKAD O LBКAsa, наиресг лежащие "(s""' '"(§)'" ы, rnyщeO
дк.з,~"' ВА~КА,~у ад"~· ~
Рдасо=2 В =/f,A, В ,А = 1 с .
Ответ:А = D l'irм, = -2 с ,80:2 В-2 . Q о
с--- ~
17' D, 1/
~ '-1. 1\
\)> \/ ---- \
,_ ~ L/7/ I-= ::: Пv=--
' ~r ,J~~
l)AB=C ,а -м~, "" ~· /~" L~ Dcs~dt~I_::i
приэиаи pa\ n 1 lJ: •.. -'-
1-L '--' i---...!л I-'- IL.-01'-- ~ Г, :Л1- 25;свойствуромба; 25;25;50; параллелоrр 50;130;130; параллелоrрамма.
Ответ: LA= LC= 130°, LB LD = 50°.
А_
/ с--..
/ о
..:, 1- -~ ~- ~f- - / f-
i\ {,6~ \ L 17 / I Г>- - j ,а, >-f-
I I J I IL l ~1 -, ;::
~1,-L >-- 1- ~ ~ 1- f- 1-
I 90;свойствуромба; 90;90;55;35. о-ееоекмо ь зэ".
бО;свойствуромба; BAD; 120;60; равносторонний:
ВС;АС; 12; 12;48.
Ответ: РАвrо=48см.
/ r----
"
~~ ~ ~..,.. "'-- ~-~ е---~ ,,-- " - -
р, I \ L V/ Ir~ --
r ,-l ~ // Lei,~ 1'--"- ~ ~о
l~ Ll.JlL ~.,.._ ~- ~~ ~,'-- - - - -
I FT< ЕР. Найдем FT.
ЛЕFТ - равнобедренный с углом 60°, значит ЛЕFТ - равносторонний. Тогда FT
¾Ре,рт 12см.
64
~::~~@~~о@@Ш
65 1)КР=20см;
~:;~~@Ш~о@@Ш
-
--
ь
_и
I - I
l / / ' V
-- cs I ~t. '1 ft" ~ J -~
\\ ~ - I~\ f:'
1-{ -
V -
Ответ: a}ABDC; б)АВDС; в)АВDС; r)ABDC.
в с
-- ' /
' 1/
1, / ~
А I.J', I '\ 11 ~ ) r ь V
Al . '\ I lг 11 I / ~ I I,-
-:,1 ~r' ~ If / ll - I /' /
А D
I I Биссектрисами;45. Ответ:45°.
I
в с
'" /
' 1/
~- - ~ - ,г-n Ir r-,_~ и-
-- f'п Flbl, 1'.1 - Г\' ~
II~ И/ Lil V' -, ~
-~ -~ -
А D
I I I Ответ: квадраты с периметром 32 см.
" I
1/1,1
/ 1"-
~- ,_ -~ ,~-~ ~ / " - -
Ht- к. I r \ IL 1/ Ir ~ j
I I I;, '"'\ 1 2-J- jJ ( ' r ,J ll,
- L- ,,:а ~ \---f- -~ ~ - -
А -
-
Опустим перпендикуляры ВМ, CN на АО. ЛАВМ = l\.DCN по катету и rипотенузе, откуда LA LO, LABM = LDCN. Тогда LB= LC как суммы равныхуrлов.
Пусть LA= х0, LB= 2х0. Тогда х-1- 2х = 180, Зх = 180, х = 60.
ЗначитLА=бО0, LB=120°
Ответ: LA= LD = 60°, LB = LC= 120°
l\,
l\,
По условию LA= LB= 90°
Пусть LD = х0, тогда LC= (х + 40}0• Т.к. углы С и О-односторонние nри параллельных ВС, AD и секущеfi CD, то LD +LC= 180°, откуда х + (х + 40) = 180, 2х = 140, х = 70, х + 40 = 110.
Ответ: LA= LB= 90°, LO= 70°, LC= 110°.
I
По условию АМ = МВ, CN = ND, ВС I AD I MN. Значит МО, NО-средниелиниитреугольниковАВСи ACD соответственно. Откуда ВС 2МО = 12 см, AD= 2NO = 20 см.
Ответ: ВС = 12 см, AD= 20 см.
