ГДЗ решебник ответы по геометрии 7 класс учебник Мерзляк Полонский Якир
Для качественной подготовки к школьным урокам советуем смотреть данный онлайн решебник за 2016-2017-2018 года. В нем ты найдешь подробные решения к трудным заданиям и упражнениям. Следуя стандартам ФГОС, все ГДЗ подойдут для нынешних учебников и рабочих тетрадей. Бесплатная домашняя работа с готовыми ответами на вопросы облегчит жизнь ученику и поможет родителям для проверки сложных задач.
Чтобы читать разборы и решения, выбери номер задачи (№ раздела, страницы, главы):
Автор книги (часть 1 2 3): Мерзляк Полонский Якир Вентана Граф на русском.
10. Нет, не являются различными. Это названия одной и той же прямой, т.к. точки лежат на
100. а в
~
3
пSZ y~ыQ@@~iC"''"o'
Если бы это были не вертикальные углы, то были бы смежные. Но сумма смежных углов равна 180°. А сумма этих двух углов равна 140°, поэтому они вертикальные.
101.
1) При пересечении двух прямых образуются пары только смежных или вертикальных
Ответ: 52°, 52°, 128°, 128° 2) < 1 +< 2+<3= 305°
< 1 +< 2 = 180° (смежные углы) < З = 305 -180 = 125°
102.
n~W W,~юCv,ooл~(Q)~"""''Y'"o' т.~~~~~шоmQ~t~~учто
вертикальные углы равны и их разность равна О. Поэтому это углы смежные: <2-<1=64°отсюда <2=<1+64°
103.
t?~,~о@@Ш
< 1 + < 4 + < 3 = 180° (образуют развернутый угол), заменим< 4 углом 2 <1+<2+<3=180°
Ответ: <1+<2+<3=180°
104.
< АОК < МОВ = 15° (вертикальные} <КОС <АОК+<АОС=70+15=85°
~~К~- ( еж e)i< 0180@@0-ш-
~-< О - в рт~а нь о
<О== ОС <<С D== ~5=~1 ." о
Ответ: 0Ш
I 17°
13. Могут быть следующие варианты:
130. Строим с помощью угольника прямой угол 90°. От одной из его сторон последовательно откладываем 5 углов по 20°, оставшийся до другой стороны угола и будет ш-
5"20-90=100-90=10°
131. Чтобы прямая пересекла все стороны многоугольника, нужно, чтобы любая пара
соседних вершин многоугольника лежала по разные стороны от этой прямой. Занумеруем
:'~:;и~:' 13;у,~л0,ри~:':йц:ф;,tВ::,:,2, :,~;- 1~ т:~:'~"::';:"~",;;Р"М' ;лж;:' л;::·~0оо
од р н,j,.о эт и м и, оfтм п не пе е еч т т~у о го ьника,
сое и щ 1 вер н 1. Q
Ответ: нет, не может.
ВК, СМ, АР- высоты ВК, АВ, СВ- высоты АР, ВК, СМ- высоты
133.
У треугольника ВОС высота, проведенная из вершины В, расположена вне треугольника.
135.
Uf1I~ [email protected]
136.
137. М
[email protected]
К Е
1} КЕ 2) < Е 3) КМ и КЕ 4} <К и< Е
138. Стороны: СЕ, CF, FE
н * '"'"
4точки
~&@~o~@&l
Зточки
139. х см -1 сторона треугольника, Sx см - 2 сторона треугольника, (х + 25) см - 3
сторона треугольника, х + Sx + х + 25 = 74 7х + 25 = 74
~''"m·"з МШ'"';м,-lр:;:о:а: е сал,""'@' @Ш
J!.з С - Н Т'i;,'Г Ь К о
+ + 4 7 ерим р е го ьGа
Ответ:76см
140. х - коэффициент пропорциональности, 5х см - 1 сторона треугольника, 7х см - 2 сторона треугольника, llx см - 3 сторона треугольника, 5x+llx=80 16х=80
~ф~р о,~ @@Ш
м " •Pf"(CO ''7'' о
мм р : тгiwг:0,:: Q
Ответ: 25 см, 35 см, 55 см
141. х - коэффициент пропорциональности, 7х см -1 сторона треугольника, 9х см - 2 сторона треугольника, Вх см - 3 сторона треугольника,
7х+9х+8х=48 24х=48
tf[Ef~~;~o~"O@@Ш
Ответ: 14 см, 18 см, 16 см
142. А С
mii@:
Ответ: МЕ = 10 см
143. А Е
~&~~@М
г.к. треугольники равны, то у них соответственные стороны и углы равны, гогда с Въ с Пь Зл-
Ответ:< D =32°
144. А М
U&~.№ш
гогда е Сэ- е Гь ав- МК АВ=Sсм Отсет: <Т=40°, FD Sсм
145. l)да
''t'~·~'~"""'
еъ_б пь о ва. А ~и со е венн{1е
ГQfii>H н ав ы И О
15. Наименьшее количество точек пересечения - 1.
Рдво=АВ+ВО+АО Рвш=ВС+СО+ВО
РАВс=Рдво+Рвсо-В0-ВО 32+36-10-10 48см Ответ: Рдт:=48см
150.
Pдвc+Pдвo=AB+AD+BD+BC+CO+BD=AB+BC+(AD+CD)+2 • ВО 36+50
АВ+ВС+АС+2•во=86 бО+2•во=86 2•во=86-6О
2•BD=26 ВD=lЗсм
Ответ: 13см
152.
;~~f§З~ffi:~,в@@Ш
К и 1(1 - середины равных сторон АС и А1С1, поэтому КС = К1С1. В треугольниках ВСК и В1С11(1 найдем равне элементы:
;~Re,~:~"~;,-=,::,=,~-- Ь~"",к ~
м:t:.х~~о~е к соответствующим сторонам, равны.
180.
К дм - медиана Л дВС дМ = МК, дВ бсм Найти: СК
Л дМВ = Л КМС (по 1 признаку)
В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому дВ= КС=бсм
Ответ: КС = 6 см
181. А
~
~~> 0~offi,jj, ~ ЛQ~~а у)
0 е ка 1е}} ~о~~!
~ оль сЬотв ственные элементы равны, поэтому =
АО= ОВ, СО= OD (по условию) 1--- Л ADD= Л ВОС (по 1 признаку)
H 'Л.д - 1 1 .
188.
~А ~~=:•::~:;":; ;;рое,да,уллр ,СВ
Найти: AD Решение:
уГ;1 dS:;~Q@'~.::'"oo::.:o,
u~ ~бс,~ ,rUп оовенства
2) В равных треугольниках соответственные элементы равны: CD BD = 4 см З)АD АВ-В0=7-4 Зсм.
Ответ: АD=Зсм.
19.
111 11111 Fil '.,1,.:-,~_l\~lvll,,(,-IIFD@@Ш
· D--l 1Fl"'l l~1r 1@@Ш
'U~GdJE:=,~u@@Ш
189.
КМ - серединный перпендикуляр к АВ вс-ль см,Рдмс=26см
Найти: АС
Решение:
1} Найдем равные элементы треугольников АКМ и ВКМ:
3) Рдмс= АС+ АМ +МС= АС+ МВ+ СМ
2б=АС+МВ+СМ МВ+СМ=СВ lбсм
2б=АС+lб АС 26-lб=lОсм
Ответ: АС= 10 см.
190.
191.
Дано: АО= ВО, СО= DO, АМ = ВК Доказать: 1) ОМ = ОК
С 2} точки М, О и К лежат на одной прямой
Доказательство:
1) АО= ВО, СО= DO (по условию) и< АОС = < BOD (вертик),
&~ р~аее,~~~ЛВОD
А В п то у А =<О О.
Т.к А - В А В < fj К О то rе,з а р енОа у н ков
Л ~j _ , оо е м лементы реугольников рав 1, О =
2) < АОМ = < ВОК (т.к. Л АМО = Л ВКО), а точки А, О и В лежат на одной прямой
по условию; т.к. < дОМ < ВОК, то это вертикальные углы и точки М, О и К лежат на одной прямой.
192.
1) Найдем равные элементы в треугольниках ОВС и ODA ОС= Од (по условию},
ОВ =Од+ АВ, OD= ОС+ CD ит.к. Од= ОС и АВ = CD, то ОВ OD <О-общий, по 1 признаку равенства треугольников Л ОВС = Л ODA
По 1 признаку равенства треугольников Л АОМ Л СОМ, поэтому< АОМ =<СОМ/ Поэтому ОМ - биссектриса< BOD.
194.
Дано:< АОВ и< вое - смежные OD - биссектриса < АОВ
OF - биссектриса < вое
<АОО: < FOe=2: 7
4х+14х=180 18х=180 х=10
<А00=2*10=20° 8> 13 ° 24см
8см
В 13см С
21
V/1.\~~C(,,r,;J~~P'"""'йj
uш ~Q~s~~~u
2х+ 15 =39
2х= 14 х=7
в см с
Ответ: 1) Р = 24 см 2) АВ = ВС = 7 см
200.
201. А хсм-АВиАС,тогдаВС=х+Sсм
Р=АВ+АС+ВС
,@н+Sс
~(:'\,,rr;J_~~ ~:-зтоQ:,М U~G+ = с -в UU
Ответ: АВ =АС= 9 см, ВС = 14 см
202. А х см -АВ и АС, тогда ВС = 4х см Р=АВ+АС+ВС
х+х+4х=54
v?lit;(!jj~ :шQµ
u~ o~Щ7uu
Ответ: АВ = АС = 9 см, ВС = 36 см
203.
<ВСА = 40°, <АВС = 100° BD - медиана
Найти:< BAD,< ABD, < ADB
3) т.к. сумма углов треугольника равна 180°, то . 2
-2,АВ - 2 - l.
Ответ:АВ :АС= 1: 2
246.
10· АВС~·~75~225·~@Ш
- 1,секти А,~ с р а<ВК о
з ть: т . д. _аот_ зксс <~, С А- . 450
2) г.к. СМ - биссектриса< ВСК, то< ВСМ < МСК = 45: 2 = 22,5°
3) В треугольнике ВСМ есть 2 равных угла по 22,5°, по признаку
,~, ого тр Yffi"'" ~-раss~дре@й со W" ем ВС,
г {А() в 1е ы pJvro ьн а вны, М = Q
Л К au д < С JJ + < =@, 0 + 45 6 , 0
треугольнике есть равных угла по 67,5°, по признаку
247.
Дано: Л АВС, ВО - биссектриса< В, СЕ - медиана,
Найти: стороны Л АВС
Решение: 1) В: Л ЕВС отрезок ВО - биссектриса и высота, поэтому Л ЕВС- равнобедренный с основанием ЕС, значит ВЕ ВС.
С 2} Значит АВ = 2ВЕ = 2ВС.
ВС= 1
ВС=2
4) Если ВС= 1, тоАВ = 2 иАС=З, но тогда АС=АВ+ ВС, точки А, В и С лежат на прямой. Это противоречит условию, что АВС- треугольник.
5) Поэтому, ВС = 2 см, АВ = 4 см, АС= 3 см.
Ответ: 2 см, Зсм, 4 см.
248.
~
р т м
Дано: Л АВС, АЕ - биссектриса< ВАС, СР - биссектриса < ВСА, КО _l_ АЕ, CP_l_KM,MC lсм,АВ Зсм, ВС=4см,АС бсм
Найти ВО.
~тч,,, ~@о, o~ql\'"к е~е~,,Са;J'е)~см-
Р р н и о ва мШМ ~=(:)~~UU
т - с= = .
2) в Л AKD отрезок АТ является биссектрисой и высотой, значить Л AKD - равнобедренный с основанием КО и AD АК = 5 см.
Тогда ВО= AD-AB= 5-3 = 2 см.
Ответ: ВD=2см
250.
Дано:< 1 ¼ *< 2 = 42°
Найти:< 1,< 2, < 3,<4 ----/----- Решение: 1} пустьх-¼•< 2, тогда 2х < 2,
У//д\ 3 4 ~ ~;':':~@~"ые) blr~ 0-вет~ ~0\.5~uu
3) < 1 = 74 + 42 = 116°
4) < 4 = < 1 = 116° (вертикальные) Ответ: 74°, 74°, 116°, 116°
251.
L?щ====ф14ы====ощ~
252.
Дано: АВ = СО, ВС = AD
253.
Дано: АС= AD, ВС BD, 2ВМ
Доказательство: 1} продолжим медиану ВМ за точку М и отложим отрезок МВ1 = МВ
2) Л АМВ = Л СМВ1 (по 1 признаку равенства треугольников),
"f'в~в (оо~~сол,а-,оs), 4~Yol~=G's~~~BC
421.
А К В
м
Дано: ВС=2АВ, BD: ос- э . 7, CD= BD + 16, К - середина АВ, М - середина DC
Найти: КМ
Решение: 1) х коэффициент, Зх- BD, 7х - DC, тогда ВС = 10х и АВ = Sx
BD= 3 • 4 = 12 см
4)KM=KB+BD+DM 10+12+14=36см Ответ:Збсм
422.
424. l)Дано:А З=см~-~--
Построение:
В 1} Проведем прямую а, отметим
;~на ней произвольнуюточкуА,спомощью циркуля измерим отрезок 4 см и отложим его от точки А, получим точку С
2) С помощью транспортира отложим от АС
j прямой угол
А С 3} На второй стороне прямого угла
с помощию циркуля отложим от точки А
отрезок 3 см, получим точку В
4} Соединим точки В и С, треугольник АВС - искомый, в нем АВ и АСкатеты, ВС- гипотенуза
2}Дано: А 2,5см
ел
Построить: Л АВС- прямоугольный с катетом АС и углом С= 40° Построение:
1) Проведем прямую а, отметим на ней произвольную точку А, с помощью циркуля измерим отрезок 2,5 см и отложим его от точки А, получим точку С
2) С помощью транспортира отложим от АС прямой угол
3) От отрезка СА отложим угол С= 40° с помощью циркуля и линейки
4) На пересечении второй стороны прямого угла и второй стороны угла С отметим точку В
5) Соединим точки В и С, треугольникАВС-искомый, в нем АВ и АС- катеты
u'~Ш[email protected]
А С
3}Дано:
бсм
Построить: Л АВС- прямоугольный с гипотенузой ВС и углом С= 70° Построение:
1) Проведем прямую а, отметим на ней произвольную точку С
2) С помощью циркули и линейки отложим отточки С на прямой а угол С 70°
3) На второй стороне угла с помощью циркуля отложим от точки С отрезок, равный 6 см, отметим точку В
4) С помощью транспортира опустим из точки В перпендикуляр на прямую а, обозначим полученную точку А
5) Соединим точки В и А, треугольникАВС- искомый, в нем АВ и АС- катеты,
~ ВС гипотенуза
м
Ш~о@@М
425.
Sсм
получим точку с
2) С помощью транспортира отложим от АС прямой угол
З) На второй стороне прямого угла от точки А с помощью циркуля отложим отрезок 5 см, получим точку В
4) Соединим точки В и С, треугольник АВС- искомый
W~"W:W~[ CJ0M
U~т .:::д~п~~~~см
Построение: 1} Проведем прямую а, отметим на ней произвольную точку В, с помощью циркуля измерим отрезок 4 см и отложим его от точки В, получим точку с
2) Т.к треугольник прямоугольный равнобедренный, то у него 2 угла равны по 45°, поэтому с помощью циркуля и линейки отложим отточек В и С углы по аб-
З) При пересечении вторых сторон угла обозначим точку А 4) Треугольник АВС- искомый
4см
426.
[email protected]'~o@@Ш
427.
43.
А М С
Отрезок АВ разделен точками С и О на три неравных отрезка: АС, СО и DB
Об~зн;чимточк:&з-с единаотрезк~аАС N-cepe ин о~ре DB~
~~ - 8~то а ма и о зкQ.с азабольше,
:qЦD~ СМ о
CD= АВ-(АС +DB)= 32-28 = 4 см
Ответ: длина среднего отрезка равна 4 см
429.
~В ~~"о;,~,::~ - равнобедренный, АВ O ВС, < В O 76°
Найти:< САН
Решение: 1} по теореме о сумме углов треугольника <ВАС+< АВС + < АСВ = 180°, но <ВАС=< АСВ (свойство
J ~ел о~н вани равн ~н т yr ьника)
f)c = 8 - 76°) 2 1 : v2° t--
!f п т ореме @ угл в еуг ни~
< АС+< АНС + < АСН = 180°, < АНС- прямой, <САН= 180° - 90° - 52° = 38°
Ответ: < САН = 38°
430.
Дано: Л АВС- равнобедренный, АВ = ВС, АН - высота, <САН= 19°
Найти:< АВС, < АСВ, < САВ
Решение: 1} Рассмотрим Л АСН - прямоугольный, т.к. АН - n1
3) < АВС = 180° - 71° 71° = 38° Ответ: 71°; 71•; 33°
431.
432.
433.
434.
435.
Доказать: ВЕ= BD
436.
Дано:< В, ВК - биссектриса MD и МС - перпендикуляры Доказать: MD= МС
D и МСВ,
гипотенузе и острому углу
3) В равных треугольниках соответственные стороны равны и MD МС.
437.
44.
б} нужно отметить 3 точки, одна в точке пересечения отрезков, и по 1 на каждом отрезке в} нужно отметить 4 точки, одна в точке пересечения отрезков, и по 1 на каждом отрезке г) нужно отметить 3 точки, в точках пересечений отрезков
438. С Доказать: АР= ВН
Доказательство: 1) Рассмотрим треугольники АСР и ВСН. АС=ВС (т.к. треугольник равнобедренный), LC - общий,
А
3) В равных треугольниках соответственные стороны равны АР= ВН
439.
~~
с
Дано: АА1 и СС1 - высоты, АА1 = СС1 Доказать: Л АВС - равнобедренный
Доказательство: 1} треугольники АСС1 и САА1 являются
;~::~,,~~~:~~~
')~~1 н~с@~о~~равныи
< 1АС = < А1СА, по признаку равнобедренного треугольника Л АВС- равнобедренный.
442.
А,
Доказательство:
1) АВ = А1В1 и АК А1К1 (по условию} Л АВК и Л А1В1К1 - прямоугольные,
3) т.к. АК и A1J<1 - биссектрисы, то
К1 < ВАС = < В1А1С1
3) Л АВС = Л А1В1С1 (по катету и острому углу)
443.
А,
~ I\\ l}AB ~~о=~
В С В1 С1
к,
3) Л АВС = Л А1В1С1 (по двум катетам)
Доказательство:
А1В1 и АК = А1К1 (по условию}
Л АВК и Л А1В1К1 - прямоугольные, они равны по гипотенузе и катету
... ~д,,_ , '"@!Ji1 .....
равны, АВ = А1В1, < АВС = < А1В1С1
2) Л АВК = Л д1В1К1 по гипотенузе и острому углу
3) В равных треугольниках соответственные стороны равны и АК =А1К1
445.
Доказательство:
1} прямоугольные треугольники АКС и А1Н1С1 равны по гипотенузе и
катету
4) в равных треугольниках соответственные углы равны< МАС < М1А1С1
5) по 2 признаку равенства треугольников Л АВС = Л А1В1С1
446.
З) СН = (1( + l"Б"'Щ.о~ЛКСА,,,
А ptiы го ьника cl
< счи _' ~Gазн
А С Л ВАР= Л ВСР, поэтому АР= РС и ВО - медиана, а в равнобедренном треугольнике медиана является высотой, значит ВР- серединный перпендикуляр к АС.
455.
~с л~
3) тогда по 2 признаку равенства треугольников Л АОВ = Л COD, а в равных треугольниках соответственные стороны равны и АО= СО.
456.
457 с"М'f~:,о~л~:~ crop~~~""' 26 cм,изivxrrrв!\cяlкa~aJб!J'wrи/д=,·rJ ~~ О JJ t1 L
46. 1) От точки А отложим отрезок АВ длиной 13 см и от его конца В в обратном направлении
2) От точки А трижды последовательно отложить отрезок 5 см и от конца последнего отрезка в обратном направлении отложить отрезок 13 см.
3) От точки А дважды последовательно отложить отрезок 13 см и от конца последнего отрезка в обратном направлении отложить 5 раз отрезок 5 см.
Sсм Sсм Sсм Sсм Sсм
458.
Найти: EF
Решение: по свойству угла в 30° катет FE=¼ DE= 9 см Ответ: 9 см
t?~Ш~о@@Ш
F Е
460. А Найти: ВЕ, СЕ
Решение: 1} Л АВС- равносторонний, поэтому< АВС 60° 2) В прямоугольном треугольнике ВОЕ найдем
@-~- ocJQo
t?~ :й, су:~~@~
S)CE = 16-4 = 12 см Ответ: 4 см, 12 см
461. В Решение: 1} по свойству углов прямоугольного треугольника< ВАС= 90° - 30° = б0°, тогда меньшим катетом будет катет АС, т.к. против большего угла лежит большая сторона
2~-АС~- '@)· эг
в ' тетА - f,,' ме.
Х=.!. +О ='f- Х= -
С А 5+5=10см-АВ
Ответ: 5 см, 10 см
462. А Найти: ВК
~ Реше1ние: l)ЛАКС-прямоугольный, по свойству угла вЗО0,
~СКс,А~сН::: <В~- О - 00 ШОМ
ра о едрен ы =0=5
м о
о
с в
463. В 7 см Решение: 1) найдем в треугольнике АВС
ВХ, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, значит
< В больше< А.
2} Проведем серединный перпендикуляр с к отрезку
А§роиs, юм
с и ом п р
10 о о
ре вб. а прямой с.
ГМТ - все точки полуплоскости, в которой лежит точка В отрезка АВ, кроме точек, принадлежащих серединному перпендикуляру.
501.
Пусть Х -такая точка, что АХ> АВ
ГМТ - множество всех точек плоскости, находящихсявне~МАВ.
[email protected]ш
502. В Доказать: АЕ = ED
Доказательство: 1} т.к. Л АВС - равнобедренный, то <ВАС=< ВСА и г.к. AD и СЕ- биссектрисы, то АВ
Доказательство: 1} СВ СО+ ОВ =АО+ ОВ (радиусы
ш ~~@@~Iусолоаи,а
520. Доказать:< АОВ = 120°
Доказательство: 1} D - середина ОС, поэтому OD СО OD =¾ОС =¾Од = ¼ ОВ, поэтому в треугольнике
C~~300BD~0 ,~~усол
c_Qj~ <А ~· 2 ~~
Ответ:< оУ= 12 °
А
521. ~ l)OK,2 раза меньше Ав.
А К В Л ОАК = Л ОВК по гипотенузе и катету, поэтому АК = ВК и ОК= КВ=АК
~,<К~- S@ЭАО ws, 45°090°
д о zОВиоэоуQо < КЗОо
G), - (., с в
равнобедренный),< АОВ = 180° - 2 + 30° = 120°
523.
Решение: 1} т.к. МА- касательная, то< МАО = 90° и< ВАМ= 90° - 20° = 70°
2) ЛАОВ- равнобедренный и< ОАВ = < ОВА = 20°, т.к. МВ-касательная, то < МВО = 90° <АВМ = 90° - 20° = 70°
3) по тереме о сумме углов треугольника< АМВ = 180° - 2 + 70° = 40° Ответ:< АМВ = 40°
524.
Найти: <АСВ
Решение: 1} г,к. Од ОВ = АВ, то
~л ~:в~- p:ssooopc:::"'ro:,: о:: :~:,:; ~~о
ОСВО ст у т~о = ОВС=90°
<(9 -<С -W.- = 4}АСВ= 180°-2 + 3 °=120°
525.
Доказать: АС - биссектриса < BAD Доказательство: 1} г.к. ОС= Од (радиусы}, то Л ОАС- равнобедренный и< ОСА=< ОдС
D - -
526.
53. 11 / 21
527.
Доказать: Л ABD - равнобедренный Доказательство:
1} < AOD - внешний угол Л АОВ, < AOD = < ОВд + < ОАВ
~н~оош··
1-tj:f=1 ,irt r~ l P-J::11 ОВА < н~т< =2 ОВА=
1 .6.\ It ~ I ~
~DB ямЗ бноv'
< ADB = 90° - < AOD = 90° - 60° = 30°, в Л ABD два равных угла по 30°, значит Л АВО - равнобедренный.
528.
529.
Рассмотрим окружности с центрами 01 и 02, которые касаются прямой а в точке О.
00J_a, 00J_a
а проходящая через данную точку.
о
530.
531.
Т.к. окружности касаются прямой, то радиусы этих окружностей, проведенные в
~4);~~ cri::o'й~aca:,: с®;ер~::"'~~:"'Р::;да~:::о
/ ( - '\ - ровесv и т к8пе и я ныйданной
§,er
·- все точки плоскости, кроме точек са мои прямой.
532.
Доказать: АК + ВК = ОК
Доказательство: 1} т.к. КА и КВ- касательные к окружности, то КАJ_Од и KBJ_OB, Л ОАК и Л ОВК- прямоугольные 2) Од= ОВ (радиусы), КО-общая, тогда по катету и
~~ шс~,со,е;;':,~РА~О:::ВОК,шдам<АКО0<ВКО,
~ о 3} А =<В ~< кiQ• О О
4 и А а ем = 0 Q. _ '=
5) по свойству угла в 30° имеем АК ¼ КО и аналогично КВ=¼ КО
6) дк+ вк =¼ко+ ¼ко= ко
533.
Доказать: ВС + ВМ =¼ Рдвс
Доказательство: 1) пусть О - центр окружности, тогда ON= ОК = ОМ (радиусы окружности)
С ~r_v,~ Л О } 2) по свойству касательной к окружности OMJ_AB, ONJ_CB, OKJ_AC.
3) Л BON = Л ВОМ по гипотенузе и катету, поэтому ВМ = BN
~~@о eiз:":g;@fё)~iI'Y,
Тогда СВ+ BN = СА+АМ, СВ+ ВМ =СА+ АМ.
Рдев= АС+ ВС +АС= АС+ ВС+ АМ + ВМ АС+АМ + ВС + BN =АС+ АК + CN = СК + CN = =2 + СК=2 + (АС+АК)=2 + (АС+АМ)
ТогдаВС+ВМ ¼Рдвс-
534.
535.
Доказать: М - середина CD
2) В равных треугольниках соответственные стороны равны и СМ= MD, т.е. М - середина CD.
536.
м
Доказать: Л CMD- равнобедренный с основанием CD.
соответственные стороны равны и МС с основанием CD
537.
В.
1 = D +< В=.!. АВ+- (@-1(< +<С = 1 °=90°,
т.е. < 01D02 - прямой.
550.
Найти: <О1ВО2
Решение: т.к. 01 центр окружности, вписанной в Л АВО, то ВO1 - биссектриса
, ~~трис;\ «во,
551.
Доказать: АМ = МС
Доказательство: 1) т.к. О- центр описанной окружности, то ОК- серединный перпендикуляр к стороне АС, поэтому АК = СК -~'~
552.
553.
Найти: АС
556.
Доказать: Л АВС равносторонний Доказательство:
1) ЛВОD и Л СОЕ-прямоугольные и
ВО= ОС, DO= ОЕ (радиусы одной окружности} и по двум катетам ЛВОD Л СОЕ.
ЛАОD = ЛСОF, поэтому AD= CF AD+ но , CF+ BF= ВС
5} Получили АВ = ВС = АС, т.е. Л АВС равносторонний.
557.
~в :~,,~д;/ в~,:с~бВсм
Решение: пусть х - коэффициент, ВО= 7х, AD=5x,
прямоугольные треугольники ADO и АОЕ равны по
~ 8= seд[email protected]ыj.
ав сгва р н~ ет аенство
, та от т а!:?Ес1: , ВСн= == = и гда
Р 12х+12х+5х+5х 68 34х=68 х=2
АВ=2 * 12=24см, ВС АВ=24см,АС=2 * 10 20см Ответ: 24см; 24 см; 20см.
558.
В Найти: АВ, ВС, АС
Решение: АМ : МВ 3: 2, CN = 6 см, Р = 52см пусть х - коэффициент, ВМ = 2х, АМ = Зх
Ответ: 20 см, 18 см, 14 см.
559.
Найти:
t?L~Mз~I~i~:~~@ш
с в
709.
1) г.к. АВ = ВС =CD= DE, то АС= ЕС и Л ФСУ - равнобедренный с сонованием АЕ,
710. А 1} <АВС = <КВС = 35°, <КСВ = <НСВ = 90° - 35° = 55° 2} <АСВ = <МСВ = 83°, <МВС = <НСВ = 90° - 83° = 7° 3) <ВНС = 180° - <НВС - <НСВ = 180° - 55° - 7° = 118°
t?~~':@@Ш
711.
1) СК- биссектриса <С, поэтому <АСК = <ВСК = 90° : 2 = 45°
2) <НСВ = 45° - 12° = 33°
3) <СВН = 90° - 33° = 57°
ffЯ~~Е7~3@@Ш
с~ в
712.
1) т.к. АС= АМ, то Л САМ - равнобедренный с основанием СМ и <АСМ = <АМС
2) т.к. ВС = ВК, то Л СВК- равнобедренный с основанием СК и <ВСК=<ВКС
~~:;~®ffioaи,os,
. . '
6) <КМС = <СКМ = 67,5°
7) <МСК = 180° (<КМС + <СКМ) = 180° - 2 * 67,5° = 45° Ответ: 45°
713.
~
с
714. А О 1} т.к. <А=
