ГДЗ решебник ответы по геометрии 7 класс учебник Мерзляк Полонский Якир

Для качественной подготовки к школьным урокам советуем смотреть данный онлайн решебник за 2016-2017-2018 года. В нем ты найдешь подробные решения к трудным заданиям и упражнениям. Следуя стандартам ФГОС, все ГДЗ подойдут для нынешних учебников и рабочих тетрадей. Бесплатная домашняя работа с готовыми ответами на вопросы облегчит жизнь ученику и поможет родителям для проверки сложных задач.
Чтобы читать разборы и решения, выбери номер задачи (№ раздела, страницы, главы):

Автор книги (часть 1 2 3): Мерзляк Полонский Якир Вентана Граф на русском.

Задание (или страница): 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55; 56; 57; 58; 59; 60; 61; 62; 63; 64; 65; 66; 67; 68; 69; 70; 71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79; 80; 81; 82; 83; 84; 85; 86; 87; 88; 89; 90; 91; 92; 93; 94; 95; 96; 97; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106; 107; 108; 109; 110; 111; 112; 113; 114; 115; 116; 117; 118; 119; 120; 121; 122; 123; 124; 125; 126; 127; 128; 129; 130; 131; Задание №1 Проверьте себя в тестовой форме; 132; 133; 134; 135; 136; 137; 138; 139; 140; 141; 142; 143; 144; 145; 146; 147; 148; 149; 150; 151; 152; 153; 154; 155; 156; 157; 158; 159; 160; 161; 162; 163; 164; 165; 166; 167; 168; 169; 170; 171; 172; 173; 174; 175; 176; 177; 178; 179; 180; 181; 182; 183; 184; 185; 186; 187; 188; 189; 190; 191; 192; 193; 194; 195; 196; 197; 198; 199; 200; 201; 202; 203; 204; 205; 206; 207; 208; 209; 210; 211; 212; 213; 214; 215; 216; 217; 218; 219; 220; 221; 222; 223; 224; 225; 226; 227; 228; 229; 230; 231; 232; 233; 234; 235; 236; 237; 238; 239; 240; 241; 242; 243; 244; 245; 246; 247; 248; 249; 250; 251; 252; 253; 254; 255; 256; 257; 258; 259; 260; 261; 262; 263; 264; 265; 266; 267; 268; 269; 270; 271; 272; 273; 274; 275; 276; 277; 278; 279; 280; 281; 282; 283; 284; Задание №2 Проверьте себя в тестовой форме; 285; 286; 287; 288; 289; 290; 291; 292; 293; 294; 295; 296; 297; 298; 299; 300; 301; 302; 303; 304; 305; 306; 307; 308; 309; 310; 311; 312; 313; 314; 315; 316; 317; 318; 319; 320; 321; 322; 323; 324; 325; 326; 327; 328; 329; 330; 331; 332; 333; 334; 335; 336; 337; 338; 339; 340; 341; 342; 343; 344; 345; 346; 347; 348; 349; 350; 351; 352; 353; 354; 355; 356; 357; 358; 359; 360; 361; 362; 363; 364; 365; 366; 367; 368; 369; 370; 371; 372; 373; 374; 375; 376; 377; 378; 379; 380; 381; 382; 383; 384; 385; 386; 387; 388; 389; 390; 391; 392; 393; 394; 395; 396; 397; 398; 399; 400; 401; 402; 403; 404; 405; 406; 407; 408; 409; 410; 411; 412; 413; 414; 415; 416; 417; 418; 419; 420; 421; 422; 423; 424; 425; 426; 427; 428; 429; 430; 431; 432; 433; 434; 435; 436; 437; 438; 439; 440; 441; 442; 443; 444; 445; 446; 447; 448; 449; 450; 451; 452; 453; 454; 455; 456; 457; 458; 459; 460; 461; 462; 463; 464; 465; 466; 467; 468; 469; 470; 471; 472; 473; 474; 475; Задание №3 Проверьте себя в тестовой форме; 476; 477; 478; 479; 480; 481; 482; 483; 484; 485; 486; 487; 488; 489; 490; 491; 492; 493; 494; 495; 496; 497; 498; 499; 500; 501; 502; 503; 504; 505; 506; 507; 508; 509; 510; 511; 512; 513; 514; 515; 516; 517; 518; 519; 520; 521; 522; 523; 524; 525; 526; 527; 528; 529; 530; 531; 532; 533; 534; 535; 536; 537; 538; 539; 540; 541; 542; 543; 544; 545; 546; 547; 548; 549; 550; 551; 552; 553; 554; 555; 556; 557; 558; 559; 560; 561; 562; 563; 564; 565; 566; 567; 568; 569; 570; 571; 572; 573; 574; 575; 576; 577; 578; 579; 580; 581; 582; 583; 584; 585; 586; 587; 588; 589; 590; 591; 592; 593; 594; 595; 596; 597; 598; 599; 600; 601; 602; 603; 604; 605; 606; 607; 608; 609; 610; 611; 612; 613; 614; 615; 616; 617; 618; 619; 620; 621; 622; 623; 624; 625; 626; 627; 628; 629; 630; 631; 632; 633; 634; 635; 636; 637; 638; 639; 640; 641; 642; 643; 644; 645; 646; 647; 648; 649; 650; 651; 652; 653; 654; 655; 656; 657; 658; 659; 660; 661; 662; 663; 664; Задание №4 Проверьте себя в тестовой форме; 665; 666; 667; 668; 669; 670; 671; 672; 673; 674; 675; 676; 677; 678; 679; 680; 681; 682; 683; 684; 685; 686; 687; 688; 689; 690; 691; 692; 693; 694; 695; 696; 697; 698; 699; 700; 701; 702; 703; 704; 705; 706; 707; 708; 709; 710; 711; 712; 713; 714; 715; 716; 717; 718; 719; 720; 721; 722; 723; 724; 725; 726; 727; 728; 729; 730; 731; 732; 733; 734; 735; 736; 737; 738; 739; 740; 741; 742; 743; 744.

Текст из решебника:
10. Нет, не являются различными. Это названия одной и той же прямой, т.к. точки лежат на 100. а в ~ 3 пSZ y~ы[email protected]@~iC"''"o' Если бы это были не вертикальные углы, то были бы смежные. Но сумма смежных углов равна 180°. А сумма этих двух углов равна 140°, поэтому они вертикальные. 101. 1) При пересечении двух прямых образуются пары только смежных или вертикальных Ответ: 52°, 52°, 128°, 128° 2) < 1 +< 2+<3= 305° < 1 +< 2 = 180° (смежные углы) < З = 305 -180 = 125° 102. n~W W,~юCv,ooл~(Q)~"""''Y'"o' т.~~~~~шоmQ~t~~учто вертикальные углы равны и их разность равна О. Поэтому это углы смежные: <2-<1=64°отсюда <2=<1+64° 103. t?~,~о@@Ш < 1 + < 4 + < 3 = 180° (образуют развернутый угол), заменим< 4 углом 2 <1+<2+<3=180° Ответ: <1+<2+<3=180° 104. < АОК < МОВ = 15° (вертикальные} <КОС <АОК+<АОС=70+15=85° ~~К~- ( еж e)i< [email protected]@0-ш- ~-< О - в рт~а нь о <О== ОС <<С D== ~5=~1 ." о Ответ: 0Ш I 17° 13. Могут быть следующие варианты: 130. Строим с помощью угольника прямой угол 90°. От одной из его сторон последовательно откладываем 5 углов по 20°, оставшийся до другой стороны угола и будет ш- 5"20-90=100-90=10° 131. Чтобы прямая пересекла все стороны многоугольника, нужно, чтобы любая пара соседних вершин многоугольника лежала по разные стороны от этой прямой. Занумеруем :'~:;и~:' 13;у,~л0,ри~:':йц:ф;,tВ::,:,2, :,~;- 1~ т:~:'~"::';:"~",;;Р"М' ;лж;:' л;::·~0оо од р н,j,.о эт и м и, оfтм п не пе е еч т т~у о го ьника, сое и щ 1 вер н 1. Q Ответ: нет, не может. ВК, СМ, АР- высоты ВК, АВ, СВ- высоты АР, ВК, СМ- высоты 133. У треугольника ВОС высота, проведенная из вершины В, расположена вне треугольника. 135. Uf1I~ i5@W 136. 137. М U&~~oCS@W К Е 1} КЕ 2) < Е 3) КМ и КЕ 4} <К и< Е 138. Стороны: СЕ, CF, FE н * '"'" 4точки ~&@~o~@&l Зточки 139. х см -1 сторона треугольника, Sx см - 2 сторона треугольника, (х + 25) см - 3 сторона треугольника, х + Sx + х + 25 = 74 7х + 25 = 74 ~''"m·"з МШ'"';м,-lр:;:о:а: е сал,""'@' @Ш J!.з С - Н Т'i;,'Г Ь К о + + 4 7 ерим р е го ьGа Ответ:76см 140. х - коэффициент пропорциональности, 5х см - 1 сторона треугольника, 7х см - 2 сторона треугольника, llx см - 3 сторона треугольника, 5x+llx=80 16х=80 ~ф~р о,~ @@Ш м " •Pf"(CO ''7'' о мм р : тгiwг:0,:: Q Ответ: 25 см, 35 см, 55 см 141. х - коэффициент пропорциональности, 7х см -1 сторона треугольника, 9х см - 2 сторона треугольника, Вх см - 3 сторона треугольника, 7х+9х+8х=48 24х=48 tf[Ef~~;~o~"O@@Ш Ответ: 14 см, 18 см, 16 см 142. А С mii@: Ответ: МЕ = 10 см 143. А Е ~&~~@М г.к. треугольники равны, то у них соответственные стороны и углы равны, гогда с Въ с Пь Зл- Ответ:< D =32° 144. А М U&~.№ш гогда е Сэ- е Гь ав- МК АВ=Sсм Отсет: <Т=40°, FD Sсм 145. l)да ''t'~·~'~"""' еъ_б пь о ва. А ~и со е венн{1е ГQfii>H н ав ы И О 15. Наименьшее количество точек пересечения - 1. Рдво=АВ+ВО+АО Рвш=ВС+СО+ВО РАВс=Рдво+Рвсо-В0-ВО 32+36-10-10 48см Ответ: Рдт:=48см 150. Pдвc+Pдвo=AB+AD+BD+BC+CO+BD=AB+BC+(AD+CD)+2 • ВО 36+50 АВ+ВС+АС+2•во=86 бО+2•во=86 2•во=86-6О 2•BD=26 ВD=lЗсм Ответ: 13см 152. ;~~f§З~ffi:~,в@@Ш К и 1(1 - середины равных сторон АС и А1С1, поэтому КС = К1С1. В треугольниках ВСК и В1С11(1 найдем равне элементы: ;~Re,~:~"~;,-=,::,=,~-- Ь~"",к ~ м:t:.х~~о~е к соответствующим сторонам, равны. 180. К дм - медиана Л дВС дМ = МК, дВ бсм Найти: СК Л дМВ = Л КМС (по 1 признаку) В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому дВ= КС=бсм Ответ: КС = 6 см 181. А ~ ~~> 0~offi,jj, ~ ЛQ~~а у) 0 е ка 1е}} ~о~~! ~ оль сЬотв ственные элементы равны, поэтому = АО= ОВ, СО= OD (по условию) 1--- Л ADD= Л ВОС (по 1 признаку) H 'Л.д - 1 1 . 188. ~А ~~=:•::~:;":; ;;рое,да,уллр ,СВ Найти: AD Решение: уГ;1 dS:;~Q@'~.::'"oo::.:o, u~ ~бс,~ ,rUп оовенства 2) В равных треугольниках соответственные элементы равны: CD BD = 4 см З)АD АВ-В0=7-4 Зсм. Ответ: АD=Зсм. 19. 111 11111 Fil '.,1,.:-,~_l\~lvll,,(,-IIFD@@Ш · D--l 1Fl"'l l~1r 1@@Ш 'U~GdJE:=,~u@@Ш 189. КМ - серединный перпендикуляр к АВ вс-ль см,Рдмс=26см Найти: АС Решение: 1} Найдем равные элементы треугольников АКМ и ВКМ: 3) Рдмс= АС+ АМ +МС= АС+ МВ+ СМ 2б=АС+МВ+СМ МВ+СМ=СВ lбсм 2б=АС+lб АС 26-lб=lОсм Ответ: АС= 10 см. 190. 191. Дано: АО= ВО, СО= DO, АМ = ВК Доказать: 1) ОМ = ОК С 2} точки М, О и К лежат на одной прямой Доказательство: 1) АО= ВО, СО= DO (по условию) и< АОС = < BOD (вертик), &~ р~аее,~~~ЛВОD А В п то у А =<О О. Т.к А - В А В < fj К О то rе,з а р енОа у н ков Л ~j _ , оо е м лементы реугольников рав 1, О = 2) < АОМ = < ВОК (т.к. Л АМО = Л ВКО), а точки А, О и В лежат на одной прямой по условию; т.к. < дОМ < ВОК, то это вертикальные углы и точки М, О и К лежат на одной прямой. 192. 1) Найдем равные элементы в треугольниках ОВС и ODA ОС= Од (по условию}, ОВ =Од+ АВ, OD= ОС+ CD ит.к. Од= ОС и АВ = CD, то ОВ OD <О-общий, по 1 признаку равенства треугольников Л ОВС = Л ODA По 1 признаку равенства треугольников Л АОМ Л СОМ, поэтому< АОМ =<СОМ/ Поэтому ОМ - биссектриса< BOD. 194. Дано:< АОВ и< вое - смежные OD - биссектриса < АОВ OF - биссектриса < вое <АОО: < FOe=2: 7 4х+14х=180 18х=180 х=10 <А00=2*10=20° 8> 13 ° 24см 8см В 13см С 21 V/1.\~~C(,,r,;J~~P'"""'йj uш ~Q~s~~~u 2х+ 15 =39 2х= 14 х=7 в см с Ответ: 1) Р = 24 см 2) АВ = ВС = 7 см 200. 201. А хсм-АВиАС,тогдаВС=х+Sсм Р=АВ+АС+ВС ,@н+Sс ~(:'\,,rr;J_~~ ~:-зтоQ:,М U~G+ = с -в UU Ответ: АВ =АС= 9 см, ВС = 14 см 202. А х см -АВ и АС, тогда ВС = 4х см Р=АВ+АС+ВС х+х+4х=54 v?lit;(!jj~ :шQµ u~ o~Щ7uu Ответ: АВ = АС = 9 см, ВС = 36 см 203. <ВСА = 40°, <АВС = 100° BD - медиана Найти:< BAD,< ABD, < ADB 3) т.к. сумма углов треугольника равна 180°, то . 2 -2,АВ - 2 - l. Ответ:АВ :АС= 1: 2 246. 10· АВС~·~75~225·~@Ш - 1,секти А,~ с р а<ВК о з ть: т . д. _аот_ зксс <~, С А- . 450 2) г.к. СМ - биссектриса< ВСК, то< ВСМ < МСК = 45: 2 = 22,5° 3) В треугольнике ВСМ есть 2 равных угла по 22,5°, по признаку ,~, ого тр Yffi"'" ~-раss~дре@й со W" ем ВС, г {А() в 1е ы pJvro ьн а вны, М = Q Л К au д < С JJ + < =@, 0 + 45 6 , 0 треугольнике есть равных угла по 67,5°, по признаку 247. Дано: Л АВС, ВО - биссектриса< В, СЕ - медиана, Найти: стороны Л АВС Решение: 1) В: Л ЕВС отрезок ВО - биссектриса и высота, поэтому Л ЕВС- равнобедренный с основанием ЕС, значит ВЕ ВС. С 2} Значит АВ = 2ВЕ = 2ВС. ВС= 1 ВС=2 4) Если ВС= 1, тоАВ = 2 иАС=З, но тогда АС=АВ+ ВС, точки А, В и С лежат на прямой. Это противоречит условию, что АВС- треугольник. 5) Поэтому, ВС = 2 см, АВ = 4 см, АС= 3 см. Ответ: 2 см, Зсм, 4 см. 248. ~ р т м Дано: Л АВС, АЕ - биссектриса< ВАС, СР - биссектриса < ВСА, КО _l_ АЕ, CP_l_KM,MC lсм,АВ Зсм, ВС=4см,АС бсм Найти ВО. ~тч,,, ~@о, o~ql\'"к е~е~,,Са;J'е)~см- Р р н и о ва мШМ ~=(:)~~UU т - с= = . 2) в Л AKD отрезок АТ является биссектрисой и высотой, значить Л AKD - равнобедренный с основанием КО и AD АК = 5 см. Тогда ВО= AD-AB= 5-3 = 2 см. Ответ: ВD=2см 250. Дано:< 1 ¼ *< 2 = 42° Найти:< 1,< 2, < 3,<4 ----/----- Решение: 1} пустьх-¼•< 2, тогда 2х < 2, У//д\ 3 4 ~ ~;':':~@~"ые) blr~ 0-вет~ ~0\.5~uu 3) < 1 = 74 + 42 = 116° 4) < 4 = < 1 = 116° (вертикальные) Ответ: 74°, 74°, 116°, 116° 251. L?щ====ф14ы====ощ~ 252. Дано: АВ = СО, ВС = AD 253. Дано: АС= AD, ВС BD, 2ВМ Доказательство: 1} продолжим медиану ВМ за точку М и отложим отрезок МВ1 = МВ 2) Л АМВ = Л СМВ1 (по 1 признаку равенства треугольников), "f'в~в (оо~~сол,а-,оs), 4~Yol~=G's~~~BC 421. А К В м Дано: ВС=2АВ, BD: ос- э . 7, CD= BD + 16, К - середина АВ, М - середина DC Найти: КМ Решение: 1) х коэффициент, Зх- BD, 7х - DC, тогда ВС = 10х и АВ = Sx BD= 3 • 4 = 12 см 4)KM=KB+BD+DM 10+12+14=36см Ответ:Збсм 422. 424. l)Дано:А З=см~-~-- Построение: В 1} Проведем прямую а, отметим ;~на ней произвольнуюточкуА,спомощью циркуля измерим отрезок 4 см и отложим его от точки А, получим точку С 2) С помощью транспортира отложим от АС j прямой угол А С 3} На второй стороне прямого угла с помощию циркуля отложим от точки А отрезок 3 см, получим точку В 4} Соединим точки В и С, треугольник АВС - искомый, в нем АВ и АСкатеты, ВС- гипотенуза 2}Дано: А 2,5см ел Построить: Л АВС- прямоугольный с катетом АС и углом С= 40° Построение: 1) Проведем прямую а, отметим на ней произвольную точку А, с помощью циркуля измерим отрезок 2,5 см и отложим его от точки А, получим точку С 2) С помощью транспортира отложим от АС прямой угол 3) От отрезка СА отложим угол С= 40° с помощью циркуля и линейки 4) На пересечении второй стороны прямого угла и второй стороны угла С отметим точку В 5) Соединим точки В и С, треугольникАВС-искомый, в нем АВ и АС- катеты u'~Ш~~Cs@M А С 3}Дано: бсм Построить: Л АВС- прямоугольный с гипотенузой ВС и углом С= 70° Построение: 1) Проведем прямую а, отметим на ней произвольную точку С 2) С помощью циркули и линейки отложим отточки С на прямой а угол С 70° 3) На второй стороне угла с помощью циркуля отложим от точки С отрезок, равный 6 см, отметим точку В 4) С помощью транспортира опустим из точки В перпендикуляр на прямую а, обозначим полученную точку А 5) Соединим точки В и А, треугольникАВС- искомый, в нем АВ и АС- катеты, ~ ВС гипотенуза м Ш~о@@М 425. Sсм получим точку с 2) С помощью транспортира отложим от АС прямой угол З) На второй стороне прямого угла от точки А с помощью циркуля отложим отрезок 5 см, получим точку В 4) Соединим точки В и С, треугольник АВС- искомый W~"W:W~[ CJ0M U~т .:::д~п~~~~см Построение: 1} Проведем прямую а, отметим на ней произвольную точку В, с помощью циркуля измерим отрезок 4 см и отложим его от точки В, получим точку с 2) Т.к треугольник прямоугольный равнобедренный, то у него 2 угла равны по 45°, поэтому с помощью циркуля и линейки отложим отточек В и С углы по аб- З) При пересечении вторых сторон угла обозначим точку А 4) Треугольник АВС- искомый 4см 426. ~@fv'~o@@Ш 427. 43. А М С Отрезок АВ разделен точками С и О на три неравных отрезка: АС, СО и DB Об~зн;чимточк:&з-с единаотрезк~аАС N-cepe ин о~ре DB~ ~~ - 8~то а ма и о зкQ.с азабольше, :qЦD~ СМ о CD= АВ-(АС +DB)= 32-28 = 4 см Ответ: длина среднего отрезка равна 4 см 429. ~В ~~"о;,~,::~ - равнобедренный, АВ O ВС, < В O 76° Найти:< САН Решение: 1} по теореме о сумме углов треугольника <ВАС+< АВС + < АСВ = 180°, но <ВАС=< АСВ (свойство J ~ел о~н вани равн ~н т yr ьника) f)c = 8 - 76°) 2 1 : v2° t-- !f п т ореме @ угл в еуг ни~ < АС+< АНС + < АСН = 180°, < АНС- прямой, <САН= 180° - 90° - 52° = 38° Ответ: < САН = 38° 430. Дано: Л АВС- равнобедренный, АВ = ВС, АН - высота, <САН= 19° Найти:< АВС, < АСВ, < САВ Решение: 1} Рассмотрим Л АСН - прямоугольный, т.к. АН - n1 3) < АВС = 180° - 71° 71° = 38° Ответ: 71°; 71•; 33° 431. 432. 433. 434. 435. Доказать: ВЕ= BD 436. Дано:< В, ВК - биссектриса MD и МС - перпендикуляры Доказать: MD= МС D и МСВ, гипотенузе и острому углу 3) В равных треугольниках соответственные стороны равны и MD МС. 437. 44. б} нужно отметить 3 точки, одна в точке пересечения отрезков, и по 1 на каждом отрезке в} нужно отметить 4 точки, одна в точке пересечения отрезков, и по 1 на каждом отрезке г) нужно отметить 3 точки, в точках пересечений отрезков 438. С Доказать: АР= ВН Доказательство: 1) Рассмотрим треугольники АСР и ВСН. АС=ВС (т.к. треугольник равнобедренный), LC - общий, А 3) В равных треугольниках соответственные стороны равны АР= ВН 439. ~~ с Дано: АА1 и СС1 - высоты, АА1 = СС1 Доказать: Л АВС - равнобедренный Доказательство: 1} треугольники АСС1 и САА1 являются ;~::~,,~~~:~~~ ')~~1 н~с@~о~~равныи < 1АС = < А1СА, по признаку равнобедренного треугольника Л АВС- равнобедренный. 442. А, Доказательство: 1) АВ = А1В1 и АК А1К1 (по условию} Л АВК и Л А1В1К1 - прямоугольные, 3) т.к. АК и A1J<1 - биссектрисы, то К1 < ВАС = < В1А1С1 3) Л АВС = Л А1В1С1 (по катету и острому углу) 443. А, ~ I\\ l}AB ~~о=~ В С В1 С1 к, 3) Л АВС = Л А1В1С1 (по двум катетам) Доказательство: А1В1 и АК = А1К1 (по условию} Л АВК и Л А1В1К1 - прямоугольные, они равны по гипотенузе и катету ... ~д,,_ , '"@!Ji1 ..... равны, АВ = А1В1, < АВС = < А1В1С1 2) Л АВК = Л д1В1К1 по гипотенузе и острому углу 3) В равных треугольниках соответственные стороны равны и АК =А1К1 445. Доказательство: 1} прямоугольные треугольники АКС и А1Н1С1 равны по гипотенузе и катету 4) в равных треугольниках соответственные углы равны< МАС < М1А1С1 5) по 2 признаку равенства треугольников Л АВС = Л А1В1С1 446. З) СН = (1( + l"Б"'Щ.о~ЛКСА,,, А ptiы го ьника cl < счи _' ~Gазн А С Л ВАР= Л ВСР, поэтому АР= РС и ВО - медиана, а в равнобедренном треугольнике медиана является высотой, значит ВР- серединный перпендикуляр к АС. 455. ~с л~ 3) тогда по 2 признаку равенства треугольников Л АОВ = Л COD, а в равных треугольниках соответственные стороны равны и АО= СО. 456. 457 с"М'f~:,о~л~:~ crop~~~""' 26 cм,изivxrrrв!\cяlкa~aJб!J'wrи/д=,·rJ ~~ О JJ t1 L 46. 1) От точки А отложим отрезок АВ длиной 13 см и от его конца В в обратном направлении 2) От точки А трижды последовательно отложить отрезок 5 см и от конца последнего отрезка в обратном направлении отложить отрезок 13 см. 3) От точки А дважды последовательно отложить отрезок 13 см и от конца последнего отрезка в обратном направлении отложить 5 раз отрезок 5 см. Sсм Sсм Sсм Sсм Sсм 458. Найти: EF Решение: по свойству угла в 30° катет FE=¼ DE= 9 см Ответ: 9 см t?~Ш~о@@Ш F Е 460. А Найти: ВЕ, СЕ Решение: 1} Л АВС- равносторонний, поэтому< АВС 60° 2) В прямоугольном треугольнике ВОЕ найдем @-~- ocJQo t?~ :й, су:~~@~ S)CE = 16-4 = 12 см Ответ: 4 см, 12 см 461. В Решение: 1} по свойству углов прямоугольного треугольника< ВАС= 90° - 30° = б0°, тогда меньшим катетом будет катет АС, т.к. против большего угла лежит большая сторона 2~-АС~- '@)· эг в ' тетА - f,,' ме. Х=.!. +О ='f- Х= - С А 5+5=10см-АВ Ответ: 5 см, 10 см 462. А Найти: ВК ~ Реше1ние: l)ЛАКС-прямоугольный, по свойству угла вЗО0, ~СКс,А~сН::: <В~- О - 00 ШОМ ра о едрен ы =0=5 м о о с в 463. В 7 см Решение: 1) найдем в треугольнике АВС ВХ, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, значит < В больше< А. 2} Проведем серединный перпендикуляр с к отрезку А§роиs, юм с и ом п р 10 о о ре вб. а прямой с. ГМТ - все точки полуплоскости, в которой лежит точка В отрезка АВ, кроме точек, принадлежащих серединному перпендикуляру. 501. Пусть Х -такая точка, что АХ> АВ ГМТ - множество всех точек плоскости, находящихсявне~МАВ. t?&ffi~o@0ш 502. В Доказать: АЕ = ED Доказательство: 1} т.к. Л АВС - равнобедренный, то <ВАС=< ВСА и г.к. AD и СЕ- биссектрисы, то АВ Доказательство: 1} СВ СО+ ОВ =АО+ ОВ (радиусы ш ~~@@~Iусолоаи,а 520. Доказать:< АОВ = 120° Доказательство: 1} D - середина ОС, поэтому OD СО OD =¾ОС =¾Од = ¼ ОВ, поэтому в треугольнике C~~300BD~0 ,~~усол c_Qj~ <А ~· 2 ~~ Ответ:< оУ= 12 ° А 521. ~ l)OK,2 раза меньше Ав. А К В Л ОАК = Л ОВК по гипотенузе и катету, поэтому АК = ВК и ОК= КВ=АК ~,<К~- S@ЭАО ws, 45°090° д о zОВиоэоуQо < КЗОо G), - (., с в равнобедренный),< АОВ = 180° - 2 + 30° = 120° 523. Решение: 1} т.к. МА- касательная, то< МАО = 90° и< ВАМ= 90° - 20° = 70° 2) ЛАОВ- равнобедренный и< ОАВ = < ОВА = 20°, т.к. МВ-касательная, то < МВО = 90° <АВМ = 90° - 20° = 70° 3) по тереме о сумме углов треугольника< АМВ = 180° - 2 + 70° = 40° Ответ:< АМВ = 40° 524. Найти: <АСВ Решение: 1} г,к. Од ОВ = АВ, то ~л ~:в~- p:ssooopc:::"'ro:,: о:: :~:,:; ~~о ОСВО ст у т~о = ОВС=90° <(9 -<С -W.- = 4}АСВ= 180°-2 + 3 °=120° 525. Доказать: АС - биссектриса < BAD Доказательство: 1} г.к. ОС= Од (радиусы}, то Л ОАС- равнобедренный и< ОСА=< ОдС D - - 526. 53. 11 / 21 527. Доказать: Л ABD - равнобедренный Доказательство: 1} < AOD - внешний угол Л АОВ, < AOD = < ОВд + < ОАВ ~н~оош·· 1-tj:f=1 ,irt r~ l P-J::11 ОВА < н~т< =2 ОВА= 1 .6.\ It ~ I ~ ~DB ямЗ бноv' < ADB = 90° - < AOD = 90° - 60° = 30°, в Л ABD два равных угла по 30°, значит Л АВО - равнобедренный. 528. 529. Рассмотрим окружности с центрами 01 и 02, которые касаются прямой а в точке О. 00J_a, 00J_a а проходящая через данную точку. о 530. 531. Т.к. окружности касаются прямой, то радиусы этих окружностей, проведенные в ~4);~~ cri::o'й~aca:,: с®;ер~::"'~~:"'Р::;да~:::о / ( - '\ - ровесv и т к8пе и я ныйданной §,er ·- все точки плоскости, кроме точек са мои прямой. 532. Доказать: АК + ВК = ОК Доказательство: 1} т.к. КА и КВ- касательные к окружности, то КАJ_Од и KBJ_OB, Л ОАК и Л ОВК- прямоугольные 2) Од= ОВ (радиусы), КО-общая, тогда по катету и ~~ шс~,со,е;;':,~РА~О:::ВОК,шдам<АКО0<ВКО, ~ о 3} А =<В ~< кiQ• О О 4 и А а ем = 0 Q. _ '= 5) по свойству угла в 30° имеем АК ¼ КО и аналогично КВ=¼ КО 6) дк+ вк =¼ко+ ¼ко= ко 533. Доказать: ВС + ВМ =¼ Рдвс Доказательство: 1) пусть О - центр окружности, тогда ON= ОК = ОМ (радиусы окружности) С ~r_v,~ Л О } 2) по свойству касательной к окружности OMJ_AB, ONJ_CB, OKJ_AC. 3) Л BON = Л ВОМ по гипотенузе и катету, поэтому ВМ = BN ~~@о eiз:":g;@fё)~iI'Y, Тогда СВ+ BN = СА+АМ, СВ+ ВМ =СА+ АМ. Рдев= АС+ ВС +АС= АС+ ВС+ АМ + ВМ АС+АМ + ВС + BN =АС+ АК + CN = СК + CN = =2 + СК=2 + (АС+АК)=2 + (АС+АМ) ТогдаВС+ВМ ¼Рдвс- 534. 535. Доказать: М - середина CD 2) В равных треугольниках соответственные стороны равны и СМ= MD, т.е. М - середина CD. 536. м Доказать: Л CMD- равнобедренный с основанием CD. соответственные стороны равны и МС с основанием CD 537. В. 1 = D +< В=.!. АВ+- (@-1(< +<С = 1 °=90°, т.е. < 01D02 - прямой. 550. Найти: <О1ВО2 Решение: т.к. 01 центр окружности, вписанной в Л АВО, то ВO1 - биссектриса , ~~трис;\ «во, 551. Доказать: АМ = МС Доказательство: 1) т.к. О- центр описанной окружности, то ОК- серединный перпендикуляр к стороне АС, поэтому АК = СК -~'~ 552. 553. Найти: АС 556. Доказать: Л АВС равносторонний Доказательство: 1) ЛВОD и Л СОЕ-прямоугольные и ВО= ОС, DO= ОЕ (радиусы одной окружности} и по двум катетам ЛВОD Л СОЕ. ЛАОD = ЛСОF, поэтому AD= CF AD+ но , CF+ BF= ВС 5} Получили АВ = ВС = АС, т.е. Л АВС равносторонний. 557. ~в :~,,~д;/ в~,:с~бВсм Решение: пусть х - коэффициент, ВО= 7х, AD=5x, прямоугольные треугольники ADO и АОЕ равны по ~ 8= seд~@Jmыj. ав сгва р н~ ет аенство , та от т а!:?Ес1: , ВСн= == = и гда Р 12х+12х+5х+5х 68 34х=68 х=2 АВ=2 * 12=24см, ВС АВ=24см,АС=2 * 10 20см Ответ: 24см; 24 см; 20см. 558. В Найти: АВ, ВС, АС Решение: АМ : МВ 3: 2, CN = 6 см, Р = 52см пусть х - коэффициент, ВМ = 2х, АМ = Зх Ответ: 20 см, 18 см, 14 см. 559. Найти: t?L~Mз~I~i~:~~@ш с в 709. 1) г.к. АВ = ВС =CD= DE, то АС= ЕС и Л ФСУ - равнобедренный с сонованием АЕ, 710. А 1} <АВС = <КВС = 35°, <КСВ = <НСВ = 90° - 35° = 55° 2} <АСВ = <МСВ = 83°, <МВС = <НСВ = 90° - 83° = 7° 3) <ВНС = 180° - <НВС - <НСВ = 180° - 55° - 7° = 118° t?~~':@@Ш 711. 1) СК- биссектриса <С, поэтому <АСК = <ВСК = 90° : 2 = 45° 2) <НСВ = 45° - 12° = 33° 3) <СВН = 90° - 33° = 57° ffЯ~~Е7~3@@Ш с~ в 712. 1) т.к. АС= АМ, то Л САМ - равнобедренный с основанием СМ и <АСМ = <АМС 2) т.к. ВС = ВК, то Л СВК- равнобедренный с основанием СК и <ВСК=<ВКС ~~:;~®ffioaи,os, . . ' 6) <КМС = <СКМ = 67,5° 7) <МСК = 180° (<КМС + <СКМ) = 180° - 2 * 67,5° = 45° Ответ: 45° 713. ~ с 714. А О 1} т.к. <А=