.
ГЛАВА 1. ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА
§1. Точки и прямые
::;:?2@/~ ~ ~ ~@)М 4)o::~m~~~o~ ш
S)общуюточку;
6) устанавливается с помощью доказательств: 7)толькоодну.
-
-
106
бхсм; 7хсм; 25см.
107
Рт,1 + Рхмс {АВ + ВМ + АМ) +(АС+ СМ+ АМ} = АВ +АС+ (ВМ +СМ)+ 2АМ = Рэвс + 2АМ;
§8. Первый и второй nризнilии равенства треугольников
108
l)C,o~;ym·мждyffia;дyffiopo м~тумжду@е;ра@; ш
~::::цо ю~п гоот~ 3 У~ рн to ро о~у ч з сере ин; о
4)cropo е· ам· ва " е, ; ,Q, а е · ,ы.
109
У""'~, 0L~pJD)o~s",Л~Гolo мо риэ аиу.
Отку - -~с. D о
Ответ:8 м. 9 Г°"~ t;-;1
-
110
-
А
\
_(-1 7[ I (
I А == 1 \-- У'{
с ,~ >'h' \
" тт ..,1 -
г н
1 I 1 1/ IГ
I 1 Т.к. АН- серединный перпендикуляр отрезка CD, то LAHC = LAHD 90°, СН = HD Значит ЛАСН = ЛАDН по первому признаку. Откуда LACD = LADC.
~l:"'~~AD~~D~ r::::lC\~ Значитьrвr=fС~\оfо~~юtаf)отrу~т=~~D-~t о JJ н l
114
Лучом В1А1;
115 ХА=ХВ;
j~~;~~'?;}~ ~ ГгJ@)М
,,,,;~~~~о~о~ ш
ХА; ХВ; соответственныестороныэтихтреуrольников.
116
А,; А1С1; д,с,;
~~:::(%'&@ Ш ~ о@@Ш
они равны.
117
y""'A~OcOCLOADcL~CB "т'"~'""е·@@Ш
Второ п з~у. куд О -О. о
Унихд -О, Ао, О О а{,,р ка н
Второму р к1-,~1 ..• Q
YниxCK=DK,LCKM=LO~M онаМК-об~я начитЛМ~К= К в пр ку.
О,sуд~М~С Кс . ш
~~=~СМ А М ст aD- а. нчl'l'т'& CP=ts. РQп о и аку.
ОткудаL U
~~~т~м·v~а~еf~;;;Jю,. o;:;;;;;i,1iC'\o ~ Тогдамукrлr~о'{1е1воfМнfvf9тк~ау~ _ t ~( U JI н 1
§2.Отрезокиегодлииil
l)Этомуотрезку; с его концем: 2) А, В; между точками А, В;
З) их можно совместить наложением;
::::~'Ш'l''"@Ш~ @@Ш
б)боль е; АВ С:Ь;
7)сум дл эти от з в; Q
8) сумме отрезков АС и СВ; АС+ СВ; основным свойством длины отрезка; 9)длинуотрезка;
10}равнонулю;
11)АС=СВ.
YниxAB=CD,LCAB=LA~D т наАС-обща~. начитl\.АВ~= no о из .
0,sуд~С А@С " А ~ @rn
~::~~с А в А= к, = т.fic- с- Al. - с мОс) а
ЛВСМ- уп . U
УнихАВ=СВ,LА=LСи~В-об иfi.ЗначитЛАВF=ЛСВDпов~ором п~зн .0~8 = D,
ДfcCWFBffiC В. ~~
У них L = L , О~ L О еж ы/;"рав ы гл м LAF = С , F ('д'?. к ра н ст
равныхо р к -~ач т С .., пd..Jго о уп 'О уд д'ь/
в,о,с,.
У них ВС= В,С,, LDCB = L0~.C1B, аовс - LD181C1. ЗначитlШDС=~В О С по вто ом~изнак .
О,еуд~С D~, ~~
д,в,с,. д
УнихВС ВС, -д, ак мм внDо ко =А,Зн и вОr:,, 1 п вому
признак = А, U
ш
MBM~ffi'""~maL~,м,в~(cJ]RR
Тогда = 1М1 1 ка с е plJaв ы • ов ЛВМ = C,f'1'fтo м8ри аку.
ОткудаВ = ,с. д U
"" Г'\
§9. Равнобедренныйтреуrольннкиеrосвойства
124
1) Две стороны равны; 2)боковыми;основанием; З)вершиной; 4)угломпривершине;
10}равные;
11} биссектриса, медиана и высота; совпадают; 12}равностороннем;
13} биссектриса, медиана и высота; совпадают; 14}всестороныра3ные.
:::o,~Rv'°'F;;:;;;Hmf\''ЬН ~~0 ~ Ответ:2~сj' /: \ l \.П j U J / Й1 ~\ l~J U }j tj l
х-бсм; х-1-2:(х-6) 90;
/1,
I
'
А :;;- '-~ I~ \ / / I\... ~h {V/ ~ /~С-.. -
1 l; ~ ,Ш,µ 1BQ11,"'~{ft1" cl t,,. :---
ПушА 'в- ,,.лn.,, oa~S м,-, "-.VL...:.JL..'J 5х+4х+4х 52; 13х=52; х=52:13;
Следовательно АС 20 см. Ответ:20см.
11111111
Ответ: NM, NK, NP, МР, МК, КР.
130
Врае~~,реу~о-~"m',м~еысо~, ГоJм
совпа ~. ,' ,~ N - - ,F\'E - ,L -LM 2 · о н
Ответ:9 , 4,2~ И n 'тг'
- ~ ~ ~ ~~ ~ - ~~ ~~ ~~ ~ ~- ~- ~- ~- ~- ~-
+
I'- '
~
D ~~ н It( ,-
I I t' µ ''
I 4-tlct "-,, Ir_
ffi н: h..1--',-1~ f,i· I сС ' "-
.L, -1 ц..; '
' _: _' _, Медиана ВМ является высотой, т.е. LAMB= 90°. Т.к. MD- биссектриса, то LAMD = LBMD = 45°. Тогда LOMC 180° -LAMD = 135°.
Ответ:135°.
133
Пос,~~~оrtЯа cмm",o~BMa~,ccRSl:"" m
перпе " р _мАо ее а . "" o!J plofi', "'"' о , ""· А '1с:.1' АDС-
оевнобе р нн 1и6 ( i. Г\ U ~~
134
A;C;AL; LC; АС; BL; BL;ABL;CBL; BL;AB;CB;
::;:~. "trS'faea@so~"O'' ~ @@Ш
l)C; 2}L З CL;
AL;LC, ; о
смежные; ALB; CLB;
CLB;CLB;
137
~;д,~а,оО;¼А~С; @~ ~ @@Ш
Отсюда + D=}.P с-36
~~:0~д2в в 5 ° б• ; о ,Llм Q О
~з:"'~DАС~,~о~рае,~~~ cтopoнaic-rбr~\aiит~ЛJErJвjp/y~зн;:_v~o~tot,. JJ t1 L
V
1\
I ~ l:J 1-t ~-- "I\ I ь J { - с, ,_ IV f--
;:, II . \ I f--
,..,, '--'< I Ь117 ,-г~ I'-. V ,r
А - -- \ с
l Рассмотрим ЛВМС и ЛВАК: LB- общий, ВМ = ВК, ВС = ВА как боковые стороны равнобедренного треугольника. Значит ЛВМС = ЛВАК no первому признаку. Откуда LBAK = LBCM.
--1 v
~
_u IQ I I ) I IC ,:: l_,v
r<;v, I ~ 1\ I 11~ ~~ J /+ I ,..
дl/ Fil \ \ l./1, ,,, :,;
I I Т.к. ЛАВС- равнобедренный, то АВ = ВС, LA= LC.
Тогда ЛАВМ = ЛСВК по второму признаку. Откуда АМ СК
Рассмотрим ЛАКС и ЛСАМ. У них АК = МС как половины боковых сторон равнобедренною
,реу,.0LМ~а~о~юро"&@· ~с САМ
none о з .О ку С- С L = АМ
Тогда L С O вХ: < аз " ав it'Jc, е Л ')С\/ о омQю " ре е ша
треуrо ни .О удаО =О U
143 CEF
У них LADF LCEF, LA= LC как углы при основании равнобедренного треугольника, AD= СЕ.
з"'"?iШ"'~""~е~со"'"@l'· ~~,.
мед а гл'!,н а С D-L
Поскол у А -ран е енн fi, аU;и н F eR к I отQре гл ни а т.е.
LAFB= С 90 or а DFB- Вкакр н СП1СОО вщfв о в х r
Т.о.лучFВ-биссектрисаугла DFE
§10. Признаки равнобедренного треугольника
144
l)Ра~~··@ш~ @@Ш
2)рае д i'• о о
::::::\ее он· Q
S)равнобедренныfi.
145
~С~А"'~"а;аыс~о,а; ~~~ @@Ш
середи ы" е п~ к я
середин or рrуд яр В=В. D Q о
146
Биссектриса; высота; АВ; ВС;
СВL;~@@П)~ @@Ш
~~~;=90 А о о
СВL;вто ом; Q
соответственные.
~~CE~H'"'~"~L~LDC~~~ '""0'0"f"'l""'f• \ 1 (п In 1 /;;.., _l L.::::'l U )1 Н I
-
150
АВ= ВС; вершину В; а;
ВС;
~{~r:;p:r;.. Q ~ ~ ~@)М ae,,;,~w~o~o\-:::) ш
противоречие: неверно;
ВА= ВС
Медиана и биссектриса; ВС;
ВМ;
МС;
медиана;МD;
ВМС;~lд; ~П)~ @@Ш
;~~~;м.· А о о
со~,ае.' е '" ме , "" " Q
АВМ;СВМ;
ADM; ADM;
равнобедренный;
АВ; ВС.
Смежные;
153 Высота;
~;~&@П)~о@@Ш
-
Т.к. АМ и СК- биссектрисы, то LBAM = LCAM, LBCK = LACK
Т.к. ЛАОС- равнобедренный, то LCAM = LACK
Тогда LBAM = LCAM =LACK= LBCK, откуда LBAC LACB как суммы равных угпов. Значит ЛАВС- равнобедренный.
155 мс
i~;::~~-~"~eyWaABC~~ыa,,.e. От,'1~ш~о~о~~ш
-
Т.к биссектриса CF также является медианой, то DF = EF. Т.к. LD = LF, то DE= EF.
Значит DE= EF =OF= 2CD = 7,2 см.
Ответ:7,2см.
157 l'IMOP;
P""~ffi', ОО~а '~"~· KD-@@J"M
Поу в акж ~ 1с го е 11 н
~~::~~Ii". - аВно е ре ый, тк д~Р - zK ё5 О
§11. ТретиИпризнакравенстватреугольников
:;~,s:.ПI02Q.QS:~м~ ГгJ@)М 2)ce~~~1':fir·т~~;J ('U) ~ 0 ~ u2__j
159
ACD.~~~~~ ~(о)м
Уни В С , D= С, о 6 11.
з"'""' в O д~ о pe~P"":/;J. "а Г\ А О tj
:~~'~Р(,с ~с~Q~сЛд~~~да LAOB=1cr=1L~\ ( (П I Г) ) / 11-l - ~ ~t u JJ н l
161
~;:,;;;?k\~ m ~ ,,~(о)м
АХ; ВХ; ВХМ;серединаАВ; l'IВХМ;третьему;
:::д~w,viJ,\D' ~ ГгJ@)М орsм::~"ш~о ~ о~ ш
серединой;
АВ; серединному перпендикуляру.
-
Т.к. AD= АЕ, OF= EF, сторона AF -общая, то l\.ADF ЛАЕF по третьему признаку. Откуда
LOAF= LEAF. Значит луч АF-биссектриса LA
164
18111
Т.к. MD= ND, МК = NK, сторона KD- общая, то ЛМКD = ЛNKD по третьему признаку.
165
у""'~АВсАВ,АМсА,М~, - ,Мffl,шоао~"ын~о ®
з"'" с м~, м, о, "м '1',' у " треу оа "" ·о/"(д М" в,.
Унихд = ,в 86= ,с, .3 аvл вс Л с,по е ому р~ку в ва
треуго "" . 'ii' , Q
166
УнихАВ СО,ВС=АО,сторонаАС-общая.
Значит ЛАВС = ЛАDС nотр~тьем признаку. Откуда LBAC = LACD ..
Y""'~c,Q~c ,с, оне в -~ща, ~ Еs@Ш
Значит В - CflD от ет и ~-О ку L D=LB С О
;нна::;в С , В = :тD, BD и В . ку _ CJ
§12.Теоремы
1) С помощью доказательств;
2)дау~· '"о· ~оа"ем;~о ·аа~"'""е~ @@Ш
З)ор",;Е5
4)распона r/:рувиу ; D О
S)теор а - в и; де м, Q
б)услов , бра ,пr; ·,обранои;
7) противного; заключение; логических рассуждений; противоречит; 8)дополнительногопостроени11;условии.
Если две стороны треугольника равны, то противолежащие им углы равны.
Если LABD + LCBD = LABC, то луч ВО проходит между сторонами угла АВС.
:::'"~М'~"~д~а,ом~~~ MD+ ок, мr, 1o~p\rи1opt'мo1иf)нtи.Y6L1f н;:jж~~у~а7j ~- l
§13. Параллельные прямые
::~ewff\ Q Q ~ ГrJ@)M :i::;:i:1~~c_QJ~o~ О Ш
5) прямую; основным свойством; аксиомой; б)параллельны.
174 aDb;
~i~~~ffi,@I~}~ о@@Ш
-
•••
a Db; Ьllс,значит ale потеореме13.2.
а Пс; сUd,значит alld потеореме13.2.
18
ш;~Л\Сс8~~о@@Ш
180
Не пересекает;
-
Ь Па; а n с,значит bl с потеореме13.2. ЗначитпрямыеЬиснепересекаютс11.
Ответ:немогут.
-
Пусть а n Ъ = М. Предположи, что с 11 а и с 11 Ь. Тогда через точку М проходят две прямые,
параллельные npямofi с, что противоречит аксиоме параллельности прямых.
Значит прямая с пересекает хотя бы одну из прямых а, Ь.
-
Проведем через точку М, не принадлежащую прямой а, прямую ВС Па. Стороны угла ВМС
параллельны прямой а
Ответ:существует.
§14. прианаки nilрilллельности двук прямык
184
i(li~@Ш~o@@Ш
б)односторонние.
185
Ш:=~~~m~п~(о)м
186
а;Ь; перпендикулярны;параллельны; а;Ь;
AB;a~ffi'@П)~ @@Ш
поус и; икаьн е;
:~~;вю о у ризна у; О Q О
90G;EF;
189
~;;;wм~~~о@@Ш
19 ~
2 11.;11
-
По условию LO= LF, LO= LPNE, значит LF = LPNE
Т.к. LPNE и LF-соответственные при прямых PN, OF и секущей EF, то PN 11 OF. Ответ:параллельны.
194
BDC; биссектриса уrла ADC;
CBD;~ffi'"~P"'Ш"~'' @@Ш
~~:~; на р ст ежАащ е; D О О
BD; вс! AD. о
195 Больший4х0.Поусловию:
§15.СвоИствапараллельныкnрямых
196
l)Cesl' ~- ~П)~ @@Ш
2)две р л н~е се щ ,
З)паруонстоонни у о: О О
4)nерпеди яр и и; Q
5) от лю ои точки одной из; до другой прямой.
197
L1 с/= L2; L3 L2;
199
~:,::~:::':·,~- Сс8~~ @@Ш
а;Ь;с;с еж,;;'; D о
LЗ;Ll-1- 2 1 01i1 о
-
Ответ: l)не принадлежит; 2)принадлежит; З)nринадлежит.
200
~::?f?R\~т%;п~(о)м
201
L1°~о/К"""(ёR• 'Уо)"~"Ь.З"~rсn-м
Тогда_ - 8 11 =5 . D о
Ответ.5 . 9 Г'! t;-;j
202
(х+36)0; х+х+Зб 180;
-
х=12:0• '
Значитис0ком;1еуr11ы84°и96°. Ответ:84;96.
--
Ответ: образовалось еще 3 острых угла, всего 4.
206
накрест лежащие:
Ответ:64°
207
T.иFEPeLEPK-.oд,ou~p ор~о,мы,F~се,ущ~О ~Е ЕР~О4° 6°0
0180W;o 'rA
LBCP= ~В = 4Ъ.к н кр а еГпьи ар ле ьных п 11 1х D с@к е .
Отвег. бё". 'ii' , И Q
209
тк"'~ffi'"'Rм" а ";rм"р~ы,р "ы,,~о "(о)'" М' '"'
д'"""' а а е siы пр м " 'D' 9 . о "--1
Ответ:90. c;;i Г'~ i.,r
-
Ответ:6.
110
C;p~~~pe~s" ~ ~ ~(о)м
С; па л 1хе АС с к й
Значит В L D~. Л D ев об ·дQнн 1й 8 En о t;-;1
-
LEA0=76°: 2=38°.
LADE= LDAB = 38° как накрест лежащие при параплельных АВ, ED и секущеfi АО. LAED= 180°-2 ·38°= 104°.
Ответ:38°,38°,104°_
ш
сво.~~~~~ ~~~
АВ= я LA О к н рет при ар н В, исе у ей ВО.
Значит А = io о ер му и наQра е в yR и , куы'А с0
LABO= LCBD; LCBD = LADB как накрест лежащие при параллельных ВС, АО и секущей ВО;
LАВО~~"@~~,ОСа@@Ш
Значи А С О L DB С.
ТогдаЛА О Л С~п вт р пр зн к~в ат 0~111ко б яОн
равноб ре ым ас= 0+2 С 0+2А = +2·5 ~-
Ответ:18см.
-
DE.
LBCM = LABC = 20°
LMCD = LBCD - LBCM = 60° - 20° = 40°.
LCDE = LMCD = 40° как накрест лежащие при параллельных СМ, DE и секущей CD.
Ответ:40°
§16.Суммilуrловтреуrольникil
216 1)180°;
:::~~" "с53ом @Е) ~ @@Ш
4) сумм д х лО.в· е м н ·
S)saж со а т ; е " " :D Q о
б)двух рут ; ер льн ,
7)двухдруrих;сторонамитреуrольника; 8)большийуrол;большаясторона.
218 Внешниеуrлы;
х+х-24+4х= 180;
П1
§~toj~oCS@M
ш
~t~·@fo)~aCs@W
811111
3.
229 МNК;ЗО0;
[~~,~Ш@Ш~о@@Ш
23
Sхсм; АО; Sx.
~~jt&@Ш~о@@Ш
231
:~EEF~E -~'-~~ ~ @@Ш
LB=18 о_ Ll!,.C = 80 4 =fы:;0• о
отвегьы. 'ii' и о
233
~;~/~:., CFmO (L~L KF) ro)· ~ @@Ш
LECK= ~ L Fil= 6 о о
отвегы.ё". lf о
I I
' I
I I
F:: т I
А I с I IГ I т I' V I
op~J7l~\l(t_] l И]L~ б,_l) j ~ -~
::'°',s 1 О \..JL....JU LB,=100°.
дналоrич~о, п~оти~ стороны ВС лежит угол LA 50°, а против наименьшей АВ- угол LC= эо" Ответ:50,100,30.
238
7; треугольника:
Н7;"ерааеюео,реую(Б"""" ·
суще~уе· щ П) ~ @@Ш
,s,1, • D о
~:~аве ка, Q
15+7;существует;
,
1/
1\
V, н
, J;
А 1/ с
г•г9_г- 1 , ~ ( I Г--- tvl
l)Пус L 'д с;~ 'l1JJ' , АНС r~ о ~
2х+(х- О+ = 8 о (:::) \____J J
Зх=12 Значит LBAC =LC= 80°, LB= 20°
2) Пусть LOAC = х0. Тогда LC 2х0, а LABC = 180- 4х0. Из ЛАНС: 2х+(х+30}+90=180;
Зх=60;
х=20.
Значит L~AC: LC0= 40°, LtBC O 100:. Ответ:80,20,80 иnи40,100,40.
-
240 <;
\\~&@П)~о@@Ш
§17.Прямоуrольныйтреугольник
1) Один из углов прямой;
2) противолежащую прямому углу; З)прилежащиекпрямомууглу;
4)прямоугольного; гипотенузе и катету; равны;катетуи гипотенузе;
::;:;:i'м"·· еусол"""'~Р~Р"~"омра~рsмо~с ~омум
6) "'" о sжащ м ос т дfv\oc пр о льиог , еусо "G'° ,
треуrол ик вн · на р в ~п я оуг ь ы~ гольн впок
прилеж rлу,
7) катету и противолежащему остромууrлу другого прямоуrольноrо треугольника, то такие треугольники равны; признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и
8) гипотенузе и острому углу другого прямоуrольноrо треугольника, то такие треугольники равны; признаком равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.
242
1!~;:wт~~~о@@Ш
Ответ:З7°,sз0
~':"'~~бщ~~'~'Щ"~~~ ceкyщe1'C.~нt~л,вq=~rjnofyv1ercтв,v~'.o~tc~. JJ t1 L
-
LA=90°-LB=45°.
LA= LB, эивчит ЛАВС-равнобедренный и CD является биссектрисой и медианой. Следовательно LDCB = LACD =LA= LB= 45°, откуда CD= DB= 12 см. АВ = 20В = 24 см. Ответ:24см.
249 д,с,о,
y""'~Ш""ffi' ewe,~, Осд@о у@Jю. W"
~~В~~,- ,с 1 ~к те и ну . о о
Т.к.ЛА = 1С1 ,то -А,С Т -аЛАВ = А Qм .
-
МК=М + б
250
;•::с~,.С0 ,cffi,LA LA@'"" p~coase е~ыо ше@оро@~' Ш'Р у
углу. От да С /',ДС1 n u
ТогдаЛА С Л~, те пи ж~е у ст у гб
251 с.в,о;
Y""'~~0L~, а~"~ыа~@~му
~::~оrи у о Л ~ . 1 101 ка и~@лл ж е ро у yQB- 1В.
ТогдаЛ С 1 1п метр миуг ждун мО
252 д,о,в,.
Y""'~~LA,~s erup~a,e,y@'@Jeж шом уту.
Откуд В ,')р А, 1. D о
Т.к.АС= А ,А 1=2 D,т С= ,с.
ТогдаЛ С= 1 1п д мет миуг м н О
$ !;
\
\
-L ,,__ \ _,_,..
,_
,le- "'\ -- -1-,..
~ \ Ч7 тt"'
А r I \! ~1 "- 17~; I ~-~
L-L = ).I\ '" н:-
~LA.
I --.,
I I I ЛАВН = ЛСВН = ЛА1В1Н1 = ЛС1В1Н1 по катету и гипотенузе. Значит АН= СН = А1Н1 = С1Н1, откуда АС= А1С1.
Тогда ЛАВС = ЛА1В1С1 по трем сторонам.
254
~'~;~~с ,~в LB@"' p~o,se "~' ,,,е@о@Р"'!' М'' ууту.
Откуда = ,с. А n U
Тогда Л С 'ltf' у ор Цгл О
-
ЛАНС = ЛА1Н1С1 по катету и гипотенузе, откуда LA= LA1.
Т.к. LA= LACB =LA,= LA1C1B1, то ЛАВС = ЛА1В1С1 по стороне и двум прилежащим углам.
в,н,с,.
У них ВН 81Н1, ВС = В1С1. Значит треугольники равны по катету и гипотенузе. Откуда НС= Н1С1
-
ЛВНС = ЛВ1Н1С1 по катету и противолежащему острому углу. Откуда ВС = В1С1
Из LABC = 180° - LBAC- LC, LА,в,с, = 180° - LB,A,c, - LC,, а также LBAC LВ,д,с,, LC= LC,, следует, что LABC = LА,в,с,
Значит ЛАВС = ЛА1В1С1 по стороне и двум прилежащим углам.
§18.Свойствапрямоугольноготреугольника
:::0~$@3LPJ~ @@Ш
2)nерп д у р/1.н нн u
зг поло " I~ у ,; ' D Q о
4)угол, Щи в эг т, 30.
Ш4а ltt 1 rntl 511111
2) Точка Е принадлежит DF. Тоrда DF DE+ FE= 10 см. Ответ:2см; 10см.
260
~;,:~:Wf\"(~61r1'~n~(o)м
261 ABD;
~;;i;w,м,.Q ~ ~ ГгJ@)М 12,Alv~-W~o~o~ UU
Ответ:Збсм.
262 ABD;
l~i~~1s@@ Ш ~ о@@Ш
263
1==-==qJ, .==,--i.
LABM = LA+LC, LA= LABM-LC= 30°.
ВЛАВС:LС=90°,LА=ЗО0,знач~тСВ ½дВ ½·16 8см.
264
Правильный, откуда LADB 60°.
Тк~, Се~. ~~ @@Ш
Поскь 1с= о =С
ВЛВМСL = 0,L = 0° нвчи В =~М 4. м. о
От" см. о
1\
1\
,~
с i, ' гЧ I \ 1/ I Iv'
• ,- lJ
Ir I_'] 'ii' 171 11 • ~~ ш.
\ k. ~. - LL J '--' ,, ... JJ "-L IJ В ЛАВС:LС = §au, LA= эо", значит СВ =~В 8 см. Из ЛАВС: LB= 90° -LA= 60°.
Из ЛСНВ: LHCB = 90° - LB= 30°
В ЛСНВ: LH = 90°, LC= 30°, значит НВ "i СВ 4 см. Тогда АН= АВ- НВ 12 см.
Ответ:4см,12см.
§19.Геометрическоеместоточек.Окружностьикруг
1) Обладающих определенным свойством;
7)дветочки;
8) хорду, проходящую через центр; 9)двараза;
10} геометрическое место точек; не больше заданного положительного числа.
267
ii:Hrrf\(C?\m~п~(o)м
'""
--
-"
I
J '" ' l=
в ."I u,_l.'; _j_ (= _j l' , I
,, - IL I j "I' I J ш
j;' L'\i
.)
D m
У,"~m""~м"~ ~(о)м
Знач Л 0- 00 по ре о м, к а С LDOB
ТогдаЛ С = О~ г по нузеи т~у rл .О а~ О О t;-;1
273
~~"~" ра ус ме~е"о•у~осr,, L~-LOD"~"" 'Q· ш
Значит О = O.lilO о ву ~~на J'w-л ме у ими, о у а L .
НоLАи В к~ут ащ ~ яJJx , D ue5 . на А В
L' Г
./ ,, F I Г ,г
-1---" !! k' _/ -! , _I, '"")-С V ~ µl "I
IQ! , LC ,--, -
-
J -1 м _j
_I
I Прямая n - ГМТ равноудаленных от точек А и В. Из всех точек прямой n только точки М и N
Ответ:точкиМ,N.
§20. Некоторые свойствil окружности. KilcaтeльнilR к окружности
l)Этухордупополам;
2)д"~ме,а·оеое"д""~" ой@о е; @@Ш
З)""мо; у;ее; ~
4)сок ж н:Ато ьк о у т.Гч\.у; О
S)рад су о К ИR, и
ыточи , а , а - ой• оОж"о ;
7) центра окружности; радиусу окружности; данной окружности;
8) касательные; данную точку с точками касания.
277
ОА;а; наклонная;
278
Радиус; касательная;
прямаяа-касательнаякокружности.
а
у
2) Тогда AD= АС+ CD {АВ- ВС) + BD = 6 см+ 6 см= 12 см. Ответ:24см; 12см.
280
~~::Wf\~m~п~CoJм
281
~:;:m""'AB,,.e.AM:,~~·,'· дш·~ @@Ш
ИзЛА: =к"- 0 0
ЗначитЛ О р вноб н й,о у а~= -6 . О
Огвепб м. о
Т.к. М -середина АВ, то АВ 1- CD.
ЛАОВ- равнобедренный, эивчит LA= ав -.'. (180° -120°) 30° В ЛАОМ: LM 90°, LA= 30°, эивчит АО= 20~ = 10 см. Ответ:10см.
284
ОСА;90°; радиусы;общая;
285 Касательной.
LAOB = 90° - LOAB 70°.
лвoc~ffi"'~7!)o.~ @@Ш
;;~~О= 00в н~~_й го тр ни U' +z.CBO L · о
LBCO= 0. о
Ответ:35.
289
::с~f\~т%;п~(о)м
Jilt U I W -ьtltll
2) Точки В и С лежат по разные стороны ог точни А. Тогда ВС АС+ АВ = 15 см. Ответ:Зсм; 15см.
290
~~=; ~{.;\as t,;;::;ц;~~MD a,<:;JQ~oa точки. з:rчt 1~ ='f,~в(~m( to~ot iл~~~~al@= ~ tj ½
/
cf"
1/ \
V I \
м о
~
L !:', /-{С ==lJ 17 /~ ~1 k у
~ r I ~ с\ V tr ~ I
I ~ '-
'- По сеойсгву касательных LA= LB= 90° и МА= МВ. Тогда ЛМАО = ЛМОВ, откуда LAMO = LBMO = 30°.
В ЛАОМ: LA 90°, LAMO = 30°, значит АО=; МО = 7 см. Ответ:7см.
292
~J:J~д@~~о@@Ш
§21.ОПИСilННilЯНВПНСilННilЯОКружноститреуrольникil
294 l)Описаннойоколотреуrольника;
8)вписать;
9)воднойточке; lО}пересеченияеrобиссектрис.
295 Равноудаленная;еговершин; описанной окружности;
ОА,О~@ЗП)~ @@Ш
серед н ен ку яр ,
середин а Р,Д" " as · D О
ОА=ОС, о
Од= ОВ = ОС; равноудалена от всех вершин.
296 Еrостороны;
297 а}
I -Т
~ V / I/
I ,t I/\ Т__:,
11 l'l 11, jJ )<:<(,) n['\
r;-1 ~!'\ "",1-11 I'=: 1, t ,, '±, rq,-- - н~~
tr1 ~ 1 1 С--1,
"v " л г----- т
' I
I
б}
а}
/ " / /~
\ /
/
I \ \ /./' ~
I\ D~ ,,.) ~t = IV
• \ I (,:С: ~·- I
-- ' I r'
1, а
'
' V 1)60°;60°;60°.
2) Построим равносторонний треугольник АВС по трем сторонам. У него LA 60°. Построим АО .l АС.
I
' V г--
'"="v
-е--С ff, - ·,1 н- =17 / h ti==
-f- ~'( 1,- х J' .о -f-
1,1 ' - V '- JI
1/ \
I 3) LBAD искомый, т.к. LCAB = 60°, LCAD = 90°, LBAD = 60° + 90° = 150°.
319
:::~·1:Ж":тЮО<.S~СО о Д[email protected],.sec~мymo~S@"· ш
•раосрн~труr со1Jнод=; О
• би ек СА, Q
• би · а ,
АН 1-АС;
I
\)/
71\
~ lг 1-~ ,- 1-
vш f='i:.:: NГ\ \ ,- '- -Н 1-~
j,l)frl N.1-IO } 11/ IL, 1~ " >--
-1- ,-~ ~'"" ~ 1- - -
I' V
З)Дolae-.J,q, - I w~ I~ ь1~ Wll
LNAHи о ы, L А = 4 СА - б\:::::>\__JЮ
aLNAH- = 1 = -
1) Катету и противолежащему углу; AD; В.
2)
LA=a;
• n .La, N,N,=h;
: ;_, л~~•\дд~ ~,W ~~~
r Ir' ~ 1 -...... J.I1 I It \.... l./ IГ r------
1 / /
/
в Ь>" N, t,
/.
[, '\
' ' а
1 IA / , --ь I' ,.,.. ) ( r С ] 1.~ ,__
З)ЛАВСи~~j,~~" ~с:~о:~,:~:а~о~ s--J
Окр.{В; а) n DH с, с,; ЛАВС
I I
с, I
, I
I I I'\
..._ __J__ 1- . ~ IL-I I ,........_с-, / i'-... -
r-.. ~~1-\~FE i~ -Э1]:; Lv,r \IГ ::: j,,, ~-
VL _.__..," 1'--,-JI'- i- - .._ -
\// D 1/
,,. /
1, '/ " /
IL ~ 11 - ) / ,= JV
~~~~~cdo'\:t~:~~;~,EJ= ]~~ ~U°'L'Jo'
-
~
1) ADC; катету и противолежащему уrлу; АС; а 2)
LA=a;
AN 1- а; AN,= h; N1N21-AN; N1N2n Ь=С;
LACC. а, се, n а= В; ЛАВС.
_ _1-,гт~ - спяг ггп /-г, ----г, ~v-
f\ L(•)/\' 11 '= r,I 1 1 1
--г;:гiг.:гs:, \ = л - I ' > ., ,, trн--
1 1\ ~
V
) . J
1/ ь
,.; с
~"
J hi
- ~I J • N • JI Г'\i 11 !. 1 l(F'-Ьr ttfг-
зiмв[email protected]~~Y:Щf1~@'~ ~ ~~ро"е
-
1)
r;биссектриса; биссектриса;
' '
АВС; zLABC; z;
КОВ;катетуипротиволежащемууглу; КВ;
двум прилежащим углам.
2)
а _1_ Ь, аГ\Ь= К; Окр.{К;г)n Ь=О;
I I I 1 1 1~-1--н---н--н-++++++i----н+.-j----1----+----1-!-
I
_!
о,
(
AVA\ I I I I I I I Tf-l~Jв 1 ,
VI 1·1 1,1 I_I I I 1'1 ll'---
-
1)
АСВ;АСВ; сторон АК; КВ;
трем вершинам.
2)
--
CK=I;
LKCC, = LKCC, =½(180° - {а+ Р)); сскк, = ¾ (180° - {а+ Р)} + а;
се, n кк, в, се, n кк, = А;
ЛАВС.
с, вv
к
~
' \
Г"' с,
ц-,г,~ - -- г~, 1, .1-
- \Гf/1•1\l(l(~Г[)lj ~ tf ,,_,
з_)r~,~вc~tj[j'~ -6( 0·0La+e~~ ~t_j
§23. Метод геометрических мест точек в .Jадачах иа построение
1) Окружности с центром А радиусом МК; окружность. 2)
I
М;АВ. 2)Построение:
Окр.{М; АВ) Г\ Окр.{О; г) Р,, Р,;
• ЛМР,К,МР,К.
I I
ь / г---- I
/ I)(._ \ I
" 'L '- ~ ~ -
L "4- 1'1< r 1t L LJ; ( r ;::: ~J V
( ,~ i/ /lдl_ \ '-'~ -~
r ----~~ _J ~ V '- :п~
I
I
I згдокаеагельство.
ЛМРК- искомый, т.к. РЕ Окр.{О; г}, МР АВ. Задача имеет столько решений, сколько точек пересечения окружностей Окр.(М; АВ} и Окр.(О; г}.
1) Серединный перпендикуляр отрезка АВ; окружность заданного радиуса с центром в этой точке; искомая фигура - точки пересечения этих ГМТ.
2) Построение: Окр.(М; г) n п = F1, F,, где п -серединный перпендикуляр отрезка АВ.
I
'r-
le ~
-J ,г
с' J, i1/ t: I '"
-!!ti'- ц I\ ~ 11.;- u '
"I'\ J, 11т [_',
---'
. IJ J "'
I _j
j 1 J
J ...j J
., _,_' 3) Задача имеет полько решений, сколько точек пересечения Окр.(М; г) и серединного перпендикуляра п.
1) Параллельная им прямая.
Искомые точки - точки пересечения этой прямой и заданной окружности. 2)Построение:
• строим m I а так, что р{а, m) = р(Ь, m};
-
З)Докаэательство.
М1, М, - искомые точки, т.к. р(М, а)= р{М, Ь) и М Е Окр.(О; г}.
Задача имеет столько решений, сколько точек пересечения Окр.{О; г} и прямой m.
-
1) Трем сторонам; О.
2)
АС= Ь;
Окр.{А; R) n Окр.(С; R} = О; LCAA, = а;
1/
1\1/1\
1/
§3.Луч.Уrол. Измерениеуrлов
33 ~Ш~~~ @@Ш
1) По н стр нд; еча о л
2)даеес, ,, г нача о~ и, о ,D О
З)общ на о; од пря о. Q
~:::~С\ Q Q ~ ГгJ@)М i~";{Iы~c_Q,;~o\_2::) о Ш
ВС=а;
Окр.{8; R) n Окр.{С; R) = О; М-середина ВС;
Окр.{М; °i) n Окр.(С; 11) = О; во n Окр.(О; R) 8, А; ЛАВС.
1.- - 1~-- _L
A/f r, Г'\ \ IL 1/ I 1-- ~ 1.- i
"--' I / L ,_ \ 11.__, i -
'-' ' ......_ 1
D V о
\
1/ " ~, в"--- Ve
I U J, 1
-ГТ'\ I А 11 - -t-y ~ JJ - '- '\ ~
Г? "" 'ii \ = 1' у _х lu I о,шс-~,~~,, , __ '--,,""-"~ _1':::::;Qo~c-';,-;/o[\___[/~tJC
1) Общее начапо; детп; сторонами; вершиной; 2)дополнительнымилУ'1ами;
3) полуп,тоскости; границей; 4)совместитьналожением;
::;:;;,'"'"'"омаесоае~рш,"е;аадаараа""'У'"'' @@Ш
7)сра е коюр о е ';о о
::;::~осо бо;,ш I~J~ Q
lО}равные;
ll}равны и сами углы;
12} градусная мера которого больше;
13} LAOC -1- LCOB; основным свойством величины ута.
-
::-~
-
124°
48
i1;I:wf\ ~JD)~ ,J~(о)м
-
53
х-1-32; LACM; х+32
" ,,
D
v - -~ - - -
,и~ / - }~ ,,., i/ ,~ -
I/ - I \L v / h - 1\.
r т I ~ ' L/
58
f~m;@[email protected]
§4. Смежные и вертикальнь1е уrлы
62
l)Oб~ffi'"'~@~ @@Ш
:~ -~---~~ о
~-"~ о
5) равны.
63
i::~f\ ~JD)~ ,JcJo)м
-1
Ответ:два.
-
Ответ:один.
68
LAOC + LCOB 180°;
70
LABO+ LDBC LABC = 180°; 4х;
-
-
L1 = L3 = 180° - 108° = 72° как смежные уrлу La.
Ответ: Ll = 72°, L2 = 108°, L3 = 72°.
74
~;,e:"~;,1:om'; ~~~ @®~
L1=L3 70° 0а ВАР К Ь · 0 = 4r)_~. - = 10°ка с Ж Ы yeL .
Ответ:Ll= 0·L~10 L '70; =hЬ о
75
т.,.ом-6,ссеs,р,саL@ЗОС, СОМ0LВОМ.Т.,.ов-б,сс~" L@'°M" оо.
Зааs~М~В М0 О O 8!ЬЭ.Зсб' ~
Тогда_ 00 - вао 6 к к ь~е.. О
Опп._j/ И Q
-
По условию LAOB + LCOD = 180°; LAOB = LCOD = 90°; LBOC = 180° - LAOB = 90°.
Ответ:90°.
77
~:0;~Л\@3~~о@@Ш
-
80
Смежными. Пусть один из нихх, тогда другой 14х.
81
~ ~ f- Г ll.LLJ IU 'LJ/1'-U/ILDQ...J
Т. к. 0В - биссектриса LAOC, то LAOB LBOC. Т. к. OD - биссектриса LCOE, то LCOD LDOE. Тогда LAOC + LEOC = 2LBOC + 2LCOD 2:(LBOC + LCOD) = 2:LBOO = 180°.
Значит LAOC и LEOC- смежные.
§S.Перпендикулярныепрямь1е
82
1) При пересечении они образуют прямые углы;
:::~~Q"~ ~ ~ ГгJ@)М 5);::~~~п~ ~ о~ UU
б)равнымнулю; 7)толькооднапрямая.
_,J-t-r-r--+-t-t-
-
Ответ:2,Зсм.
~бще~~ю,~е~ос~сеоа~~ "'''"""r"i"f""'"'i. 1 (п In 1 7 /п _l ~l U JI Н I
90
BOF;~~~~~ ~~rel
LAOE - F s6_ r L - L Е Е D s0 = 9 °. н п 1е С
пересева '" I\!;\' м м, .е дас. Г'1 'CJ tj
92
LMOKc;:f],[~ Q QD ~ ГгJ@М з"'""'~o~'f~~\__~r И)~О~ UU
94
L1+L2+L3+L4 180°;
LAOM = LDOM - LADO 140° - 90° эо". LMOK = LAOK + LAOM 110° + эо" 160°. Ответ:160°.
96
-
Раз нет острых уrлов, то образовавшиеся углы тупые иви прямые. Т.к. сумма двух смежных углов
180°, то образовавшиеся углы прямые.
Ответ:90°
§б.Аксиомы
§7. Равные треугольники. высота, меднанil, биссектриса треугольники
1) Его вершинам;
2) противолежащим; прилежащими; противолежащей; АВ; АС; З)суммудлинвсехегосторон;
9)толькооднапрямая;
10} их можно совместить наложением;
11} перпендикуляр; вершины; прямую; противоположную сторону; 12} вершину; с серединой противоположной стороны; lЗ}биссектрисыуглатреуrольннка;сточкойпротивоположной; 14)3;3;3.
99
1!~:~т~~~о@@Ш