ГЛАВА 1. ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА
§1. Точки и прямые
::;:?2@/~ ~ ~ ~@)М 4)o::~m~~~o~ ш
S)общуюточку;
6) устанавливается с помощью доказательств: 7)толькоодну.
-
-
106
бхсм; 7хсм; 25см.
107
Рт,1 + Рхмс {АВ + ВМ + АМ) +(АС+ СМ+ АМ} = АВ +АС+ (ВМ +СМ)+ 2АМ = Рэвс + 2АМ;
§8. Первый и второй nризнilии равенства треугольников
108
l)C,o~;ym·мждyffia;дyffiopo м~тумжду@е;ра@; ш
~::::цо ю~п гоот~ 3 У~ рн to ро о~у ч з сере ин; о
4)cropo е· ам· ва " е, ; ,Q, а е · ,ы.
109
У""'~, 0L~pJD)o~s",Л~Гolo мо риэ аиу.
Отку - -~с. D о
Ответ:8 м. 9 Г°"~ t;-;1
-
110
-
А
\
_(-1 7[ I (
I А == 1 \-- У'{
с ,~ >'h' \
" тт ..,1 -
г н
1 I 1 1/ IГ
I 1 Т.к. АН- серединный перпендикуляр отрезка CD, то LAHC = LAHD 90°, СН = HD Значит ЛАСН = ЛАDН по первому признаку. Откуда LACD = LADC.
~l:"'~~AD~~D~ r::::lC\~ Значитьrвr=fС~\оfо~~юtаf)отrу~т=~~D-~t о JJ н l
114
Лучом В1А1;
115 ХА=ХВ;
j~~;~~'?;}~ ~ ГгJ@)М
,,,,;~~~~о~о~ ш
ХА; ХВ; соответственныестороныэтихтреуrольников.
116
А,; А1С1; д,с,;
~~:::(%'&@ Ш ~ о@@Ш
они равны.
117
y""'A~OcOCLOADcL~CB "т'"~'""е·@@Ш
Второ п з~у. куд О -О. о
Унихд -О, Ао, О О а{,,р ка н
Второму р к1-,~1 ..• Q
YниxCK=DK,LCKM=LO~M онаМК-об~я начитЛМ~К= К в пр ку.
О,sуд~М~С Кс . ш
~~=~СМ А М ст aD- а. нчl'l'т'& CP=ts. РQп о и аку.
ОткудаL U
~~~т~м·v~а~еf~;;;Jю,. o;:;;;;;i,1iC'\o ~ Тогдамукrлr~о'{1е1воfМнfvf9тк~ау~ _ t ~( U JI н 1
§2.Отрезокиегодлииil
l)Этомуотрезку; с его концем: 2) А, В; между точками А, В;
З) их можно совместить наложением;
::::~'Ш'l''"@Ш~ @@Ш
б)боль е; АВ С:Ь;
7)сум дл эти от з в; Q
8) сумме отрезков АС и СВ; АС+ СВ; основным свойством длины отрезка; 9)длинуотрезка;
10}равнонулю;
11)АС=СВ.
YниxAB=CD,LCAB=LA~D т наАС-обща~. начитl\.АВ~= no о из .
0,sуд~С А@С " А ~ @rn
~::~~с А в А= к, = т.fic- с- Al
1, а
'
' V 1)60°;60°;60°.
2) Построим равносторонний треугольник АВС по трем сторонам. У него LA 60°. Построим АО .l АС.
I
' V г--
'"="v
-е--С ff, - ·,1 н- =17 / h ti==
-f- ~'( 1,- х J' .о -f-
1,1 ' - V '- JI
1/ \
I 3) LBAD искомый, т.к. LCAB = 60°, LCAD = 90°, LBAD = 60° + 90° = 150°.
319
:::~·1:Ж":тЮО<.S~СО о Д
[email protected],.sec~мymo~S@"· ш
•раосрн~труr со1Jнод=; О
• би ек СА, Q
• би · а ,
АН 1-АС;
I
\)/
71\
~ lг 1-~ ,- 1-
vш f='i:.:: NГ\ \ ,- '- -Н 1-~
j,l)frl N.1-IO } 11/ IL, 1~ " >--
-1- ,-~ ~'"" ~ 1- - -
I' V
З)Дolae-.J,q, - I w~ I~ ь1~ Wll
LNAHи о ы, L А = 4 СА - б\:::::>\__JЮ
aLNAH- = 1 = -
1) Катету и противолежащему углу; AD; В.
2)
LA=a;
• n .La, N,N,=h;
: ;_, л~~•\дд~ ~,W ~~~
r Ir' ~ 1 -...... J.I1 I It \.... l./ IГ r------
1 / /
/
в Ь>" N, t,
/.
[, '\
' ' а
1 IA / , --ь I' ,.,.. ) ( r С ] 1.~ ,__
З)ЛАВСи~~j,~~" ~с:~о:~,:~:а~о~ s--J
Окр.{В; а) n DH с, с,; ЛАВС
I I
с, I
, I
I I I'\
..._ __J__ 1- . ~ IL-I I ,........_с-, / i'-... -
r-.. ~~1-\~FE i~ -Э1]:; Lv,r \IГ ::: j,,, ~-
VL _.__..," 1'--,-JI'- i- - .._ -
\// D 1/
,,. /
1, '/ " /
IL ~ 11 - ) / ,= JV
~~~~~cdo'\:t~:~~;~,EJ= ]~~ ~U°'L'Jo'
-
~
1) ADC; катету и противолежащему уrлу; АС; а 2)
LA=a;
AN 1- а; AN,= h; N1N21-AN; N1N2n Ь=С;
LACC. а, се, n а= В; ЛАВС.
_ _1-,гт~ - спяг ггп /-г, ----г, ~v-
f\ L(•)/\' 11 '= r,I 1 1 1
--г;:гiг.:гs:, \ = л - I ' > ., ,, trн--
1 1\ ~
V
) . J
1/ ь
,.; с
~"
J hi
- ~I J • N • JI Г'\i 11 !. 1 l(F'-Ьr ttfг-
зiмв
[email protected]~~Y:Щf1~@'~ ~ ~~ро"е
-
1)
r;биссектриса; биссектриса;
' '
АВС; zLABC; z;
КОВ;катетуипротиволежащемууглу; КВ;
двум прилежащим углам.
2)
а _1_ Ь, аГ\Ь= К; Окр.{К;г)n Ь=О;
I I I 1 1 1~-1--н---н--н-++++++i----н+.-j----1----+----1-!-
I
_!
о,
(
AVA\ I I I I I I I Tf-l~Jв 1 ,
VI 1·1 1,1 I_I I I 1'1 ll'---
-
1)
АСВ;АСВ; сторон АК; КВ;
трем вершинам.
2)
--
CK=I;
LKCC, = LKCC, =½(180° - {а+ Р)); сскк, = ¾ (180° - {а+ Р)} + а;
се, n кк, в, се, n кк, = А;
ЛАВС.
с, вv
к
~
' \
Г"' с,
ц-,г,~ - -- г~, 1, .1-
- \Гf/1•1\l(l(~Г[)lj ~ tf ,,_,
з_)r~,~вc~tj[j'~ -6( 0·0La+e~~ ~t_j
§23. Метод геометрических мест точек в .Jадачах иа построение
1) Окружности с центром А радиусом МК; окружность. 2)
I
М;АВ. 2)Построение:
Окр.{М; АВ) Г\ Окр.{О; г) Р,, Р,;
• ЛМР,К,МР,К.
I I
ь / г---- I
/ I)(._ \ I
" 'L '- ~ ~ -
L "4- 1'1< r 1t L LJ; ( r ;::: ~J V
( ,~ i/ /lдl_ \ '-'~ -~
r ----~~ _J ~ V '- :п~
I
I
I згдокаеагельство.
ЛМРК- искомый, т.к. РЕ Окр.{О; г}, МР АВ. Задача имеет столько решений, сколько точек пересечения окружностей Окр.(М; АВ} и Окр.(О; г}.
1) Серединный перпендикуляр отрезка АВ; окружность заданного радиуса с центром в этой точке; искомая фигура - точки пересечения этих ГМТ.
2) Построение: Окр.(М; г) n п = F1, F,, где п -серединный перпендикуляр отрезка АВ.
I
'r-
le ~
-J ,г
с' J, i1/ t: I '"
-!!ti'- ц I\ ~ 11.;- u '
"I'\ J, 11т [_',
---'
. IJ J "'
I _j
j 1 J
J ...j J
., _,_' 3) Задача имеет полько решений, сколько точек пересечения Окр.(М; г) и серединного перпендикуляра п.
1) Параллельная им прямая.
Искомые точки - точки пересечения этой прямой и заданной окружности. 2)Построение:
• строим m I а так, что р{а, m) = р(Ь, m};
-
З)Докаэательство.
М1, М, - искомые точки, т.к. р(М, а)= р{М, Ь) и М Е Окр.(О; г}.
Задача имеет столько решений, сколько точек пересечения Окр.{О; г} и прямой m.
-
1) Трем сторонам; О.
2)
АС= Ь;
Окр.{А; R) n Окр.(С; R} = О; LCAA, = а;
1/
1\1/1\
1/
§3.Луч.Уrол. Измерениеуrлов
33 ~Ш~~~ @@Ш
1) По н стр нд; еча о л
2)даеес, ,, г нача о~ и, о ,D О
З)общ на о; од пря о. Q
~:::~С\ Q Q ~ ГгJ@)М i~";{Iы~c_Q,;~o\_2::) о Ш
ВС=а;
Окр.{8; R) n Окр.{С; R) = О; М-середина ВС;
Окр.{М; °i) n Окр.(С; 11) = О; во n Окр.(О; R) 8, А; ЛАВС.
1.- - 1~-- _L
A/f r, Г'\ \ IL 1/ I 1-- ~ 1.- i
"--' I / L ,_ \ 11.__, i -
'-' ' ......_ 1
D V о
\
1/ " ~, в"--- Ve
I U J, 1
-ГТ'\ I А 11 - -t-y ~ JJ - '- '\ ~
Г? "" 'ii \ = 1' у _х lu I о,шс-~,~~,, , __ '--,,""-"~ _1':::::;Qo~c-';,-;/o[\___[/~tJC
1) Общее начапо; детп; сторонами; вершиной; 2)дополнительнымилУ'1ами;
3) полуп,тоскости; границей; 4)совместитьналожением;
::;:;;,'"'"'"омаесоае~рш,"е;аадаараа""'У'"'' @@Ш
7)сра е коюр о е ';о о
::;::~осо бо;,ш I~J~ Q
lО}равные;
ll}равны и сами углы;
12} градусная мера которого больше;
13} LAOC -1- LCOB; основным свойством величины ута.
-
::-~
-
124°
48
i1;I:wf\ ~JD)~ ,J~(о)м
-
53
х-1-32; LACM; х+32
" ,,
D
v - -~ - - -
,и~ / - }~ ,,., i/ ,~ -
I/ - I \L v / h - 1\.
r т I ~ ' L/
58
f~m;@
[email protected]
§4. Смежные и вертикальнь1е уrлы
62
l)Oб~ffi'"'~@~ @@Ш
:~ -~---~~ о
~-"~ о
5) равны.
63
i::~f\ ~JD)~ ,JcJo)м
-1
Ответ:два.
-
Ответ:один.
68
LAOC + LCOB 180°;
70
LABO+ LDBC LABC = 180°; 4х;
-
-
L1 = L3 = 180° - 108° = 72° как смежные уrлу La.
Ответ: Ll = 72°, L2 = 108°, L3 = 72°.
74
~;,e:"~;,1:om'; ~~~ @®~
L1=L3 70° 0а ВАР К Ь · 0 = 4r)_~. - = 10°ка с Ж Ы yeL .
Ответ:Ll= 0·L~10 L '70; =hЬ о
75
т.,.ом-6,ссеs,р,саL@ЗОС, СОМ0LВОМ.Т.,.ов-б,сс~" L@'°M" оо.
Зааs~М~В М0 О O 8!ЬЭ.Зсб' ~
Тогда_ 00 - вао 6 к к ь~е.. О
Опп._j/ И Q
-
По условию LAOB + LCOD = 180°; LAOB = LCOD = 90°; LBOC = 180° - LAOB = 90°.
Ответ:90°.
77
~:0;~Л\@3~~о@@Ш
-
80
Смежными. Пусть один из нихх, тогда другой 14х.
81
~ ~ f- Г ll.LLJ IU 'LJ/1'-U/ILDQ...J
Т. к. 0В - биссектриса LAOC, то LAOB LBOC. Т. к. OD - биссектриса LCOE, то LCOD LDOE. Тогда LAOC + LEOC = 2LBOC + 2LCOD 2:(LBOC + LCOD) = 2:LBOO = 180°.
Значит LAOC и LEOC- смежные.
§S.Перпендикулярныепрямь1е
82
1) При пересечении они образуют прямые углы;
:::~~Q"~ ~ ~ ГгJ@)М 5);::~~~п~ ~ о~ UU
б)равнымнулю; 7)толькооднапрямая.
_,J-t-r-r--+-t-t-
-
Ответ:2,Зсм.
~бще~~ю,~е~ос~сеоа~~ "'''"""r"i"f""'"'i. 1 (п In 1 7 /п _l ~l U JI Н I
90
BOF;~~~~~ ~~rel
LAOE - F s6_ r L - L Е Е D s0 = 9 °. н п 1е С
пересева '" I\!;\' м м, .е дас. Г'1 'CJ tj
92
LMOKc;:f],[~ Q QD ~ ГгJ@М з"'""'~o~'f~~\__~r И)~О~ UU
94
L1+L2+L3+L4 180°;
LAOM = LDOM - LADO 140° - 90° эо". LMOK = LAOK + LAOM 110° + эо" 160°. Ответ:160°.
96
-
Раз нет острых уrлов, то образовавшиеся углы тупые иви прямые. Т.к. сумма двух смежных углов
180°, то образовавшиеся углы прямые.
Ответ:90°
§б.Аксиомы
§7. Равные треугольники. высота, меднанil, биссектриса треугольники
1) Его вершинам;
2) противолежащим; прилежащими; противолежащей; АВ; АС; З)суммудлинвсехегосторон;
9)толькооднапрямая;
10} их можно совместить наложением;
11} перпендикуляр; вершины; прямую; противоположную сторону; 12} вершину; с серединой противоположной стороны; lЗ}биссектрисыуглатреуrольннка;сточкойпротивоположной; 14)3;3;3.
99
1!~:~т~~~о@@Ш
