ГЛАВА 1. НЕРАВЕНСТВА
§1. Положительные и отрицательные числа
, ~П)~ @@Ш
Ви а 11; А о Q
це оеч ло;на р ьно · Q
3 -2 23 -13 1
5; 9; 33; 22' 9·
5
l)Ответ:-1,0,1,2~3,4 6,7.
2~, ,_~- -1. 2 ~ ~ @@Ш
Зj s: ,~5,-4-, : '1, о о
41 s. 2, , 2,. Q
7
~~o@@W
8W~o@@W
41
.1"1 !.1.11~c-1J-4, ~o@@W
10
1) х>2;
2) х<-2;
~~ffi@П)~o@@Ш
7) х<4.
12
11 О;-3,5;-3;
!t&@П)~о@@Ш
-1; 1,5;0.
13
)(~V~l ~~ /'I"' I~ ~
• 1 ; Х, L; ~ ,_
'ii г QlJll_:J
,__, - ~v
(---0,5; б] --05
(-11; 11) - 1 1
-5 <х55 -. s
ггэ ,1-- J(": ;~
)~(ft~ '~~ -1\
LD IC~} ~'('~ т\~
,__, -
3 1 3 1
-45 ~ х ~ -15 5 5
i
О,65х59 06
О,5.
11
1) х(9-х);
2) х(7х+5);
::,~~'1 ~~}{~Ш~о@@Ш
6) х(7 - 2х)(7 + 2х}.
2
[email protected]~o@@Ш
"I I I J: I 111 i
Зj
4ttl71 I I I j I
41
I I I I
s11 ~ Ф ~о@@Ш
бj 111111 t I j I
71111 ~f 11 ~f I j I ~~о@@Ш
4
~~o@@W
Ответ:х>З.
"11100
Огветх е -л.
~~~o@@W
Ответ:х5:-5
tttttttlti
Ответ: 2<х< 9.
7
х+х+16; 2х + 16 < 90;
fm@~}~~o@@Ш
Ответ: (8; 37).
х + 10;
б(х + 10); б(х + 10) < 420;
t~li(&В6~.~~@@Ш
Ответ: 40; 60.
9
! х + 3 < О, ! х < -3, !х < -3,
1) 5-х>О, x б.
21
11
(15х > 30, { х > 2,
:i~@[email protected]
4) {1~: ~ ~: ~ := = ;s, е:х :/о~' {;: ~: Ответ:х < О.
12 11
х(8 + llx) = О;
:;,~,•О~л~{; ,с-{;
21
{Zxx--=-5=0, { x_=Z,5,
E~fг\-~Qo CJi· ~Гп'\о м ~)твu,w~о~о~~ш
х(9х2-1)=0; х(Зх~l)(Зх+l}=О; 9x(x-V(x+¾)=o;
х=О или х-3=0 или х+з=О;
:;,~ •• 0,1,-Г1 ,с-¾
§10. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль
3
-~o@@W
Ответ:х>17 21
1) 7 -14х = О; -14х = -7; х = 0,5. Ответ: 0,5. 2)8lxl =0; х ь О. Ответ:О.
i:;:':,10~~;,,~~~ ~ @@Ш
:~и:> :т;-0 ~;~)=l;хх==б~Qсторонний.
Ответ:6.
9 11
7 +4х=5 4х=-2 х=---0,5
7+4х=-5; 4х=-12;
х=З Ответ: 3; 6.
х=б.
12
1)-1 <х+ 1 < 1; -2 < х< О. 2)-253-х52; -55-х'>-1; 15х55.
v?Гl,r;wtix~r/;~~) SjxlJffi-~ @~~х~&о~;оо)
6) 6-х=О; Х= 6
13
-Ь ~ х - а~ Ь;
{х ~ а - Ь
r~&~.~~о@@Ш
Ответ:-7;-2.
14
15
1) -3 < Sx - 7 < З; 4 < Sx < 10; 0,8 < х < 2.
~,r;r;t;\,lxed; ~w~ ,ГгJ@)М Отв~~о~о\:::) UU
ГЛАВА 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
3 11
1) х-3 -7; х =-4.
2) х-3 7; Х= 10. Ответ: -4; 10.
21
1)4-х=-9; х=13.
l~{~П)~о@@Ш
Ответ:О; 3. 41
1)7-2х=-9; -2х -16; х=8. 2) 7-2х=9; -2х 2; х =-1. Ответ:-1; 8.
5 11
1) х - 3,27 = ---0,03; х = 3,24.
~~~iП)~о@@Ш
Ответ: -5,463;-5,477.
14
6
l~~(cRm~n(c;(o)м
7
х 4
:5iA"@3~:~:~Es@Ш
9
:~М~1о) ~о@@Ш
12
[email protected] ~ [email protected]
§12. Оценка погрешности
2
~trm(ciR!~ ~о@@Ш
5
11\~т~nСс5(о)м
1~.fi:\r'~6~9.&J r:::l~o ~ la-f\(if9f~ \ fit~,J t)=jOJZ~ '"'l L::::~ U JJ tj L
10
iii·@sП) ~о@@Ш
11
ii&@Ш~о@@Ш
§13. Округление чисел
2 11
15,384-51 =0,384; 15,384-61 =0,616;
:~~~W Q ~ ГгJ@)М ir:~~jJ,o~c_O,;~o~ О Ш
JS,384-5,391 =0,006.
Ответ: !)первое; 2)второе; З}первое.
~~(П\81°~1~7,~4; r:::l~~ 2)1;з,r4t~,,11a,(:t92~s®-~з,~2Aoo;.:_\ ~\ О JJ t1 L
;~.,~ ~ G"J ~Гr:'\о ~ 21•1зr1~~·'\0l•~ JO 1 / Lf--i ~\ L::::\ U JJ t1 L
8
:t'~~~g@@Ш
9
!W,rд\ ~ m ~ n(с;(о)м
:~(4\17~s~,w ~~о~ 2),sr~r,~;~8l58en9~1JO~. / ~ Г'\\ ~, U JJ tj l
§14. Относительная поrрешность
:SJ?,Q Q ~ ~ rr:[email protected] ,1;Ejffi~~~o~ Ш
:~~з.~ ~ с;; r:::lГr:'\o ~ 21°~ r11~'\~\·2~ J О 1 / д. ~l L::::l U JJ Н L
5
3~64~1~,~0,06~0" ~ Отв'Jт:(,2f4~,\Зf{ \.П j D ) / ~ '"'l l;:::~ U JJ tj L
6
1, 'I
:~@~ ~ [email protected]
9
~Д\:~'mб~ n~(о)м
18
J:f~@:ro) ~ о@@Ш
21
(4х+З ~ О, ! х~ _ _з,
7 - х *- о, 4
3 7-х*-О,
::::~i4' то 7-х70.
1W~@П)~о@@Ш
2-х=О или 2+х=0;
Х=2 Х=-2.
Если х=2, тох-2 =0.
Если х=-2, тох-2 ~о. Ответ:-2.
12
~~~~т%;п~(о)м
14
1~~6,~" - ~о~е,и,ес;· (о)м
о, . . %,а= ,2 ¾ т о ь !f!VP г ения. о Н
Вто о из ~е евь лн н т~е. n 'тг'
§15. Практические приемы приближенных вычислений
2
:~1;;sз:бЬl8 ;:s~з:;: ~;:::: ~46~~ @@Ш
3) О , ;А 8 67 s6б7; 8100; о
41 О ; ,4, 9:М; @
3
!l~@П)~о@@Ш
4
1) 2,38 · 102;
2) 1,0675 · 104;
~IЩ@П)~о@@Ш
8) 9,2 · 10-5.
5
iii~:~:~ о@@Ш
1) х ~17 ± 0,2, г.к. 0,2 > 0,1 но 0,2 5 1, 0,2 5 10;
2) х _2Q,1_82 ±0,03; З)р l,68±0,1;
!lj~П)~о@@Ш
9) х = O,_lB ± 0,01;
10) х = 1Q2..§ ± 0,01.
§2. Числовые неравенства
l)x 156± 1; 2)х 49± 1; З)х 7,2±0,1;
:': '~,~~:'QQ~ ~@)М !:: ~~\~Jc_O}~o~ О Ш
9) х = (7,9 ± 0,1} · 10--4;
10) х = (6,81 ± 0,01) · 106.
10
11~- "<8,091-3,6=4 1=45·
i1x ~~~· ," ': 8~ ~ ~@)М
4)х ~ =,19fV~o~ ш
13
1) ху эе 64 · 2 = 128 = 130;
:':~~~~7~0~0:~сб~О~ ru ~ @@Ш
4jx > , ~ 3 ,4 : о о
~:: = ,s. s =-72,~ == о.' О
14
l)x :у~40:О,25~-16 = 00; 2 х: · 6= 6 = 6 ·
з) ·y,:s,; з4о ; 'з О О
41, о,~0,78°~~Q@@Ш
:~~(s:i\to,~±~7,~55; ~Гr:'\о ~ 2)x'f{~f2~6,-~o~jo5c)l,1)ff-Lf, ~\ l;::\ U JJ tj L
ГЛАВА 111. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
6
l)(x-13)(x+13) О; х1=13,х2=-13. Ответ:±13.
~x,~:!f.\'}~o~ ,~.0-12. 0@@Ш
4)х ;w~l~~
Ответ:±6.
8
[email protected]) ~ о@@Ш
10
:Wl4\~~-~CJ@@Ш
13
1) 225;
ltro@П)~o@@Ш
§21. Действительные числа
~~ывf~22 ~ ~ ~@)М з;lJ~~,o ~о~ Ш
2
:t~~:~~J@@Ш
3
~~~n(с;(о)м
3)1 145 4~7 18
р,·~ 00, 88 ...
(2 41,",~Q\.2::)
7
!~&@Ш~о@@Ш
х=-.
9
21
1,818181 ;
181,8181 ;
180;
180 9
х=-=1-.
if&@Ш~о@@Ш
15;
15 1 х =90=6. 41
0,2151515 ... ;
~~~@Ш~о@@Ш
4
1;?,:::\ @Ш~о@@Ш
9
!f~@П) ~ о@@Ш
10
jj@[email protected]
12 11
9,272727 ... ; 927,272727 918;
918 102
;:~ffi@П)~o@@Ш
363,6363 ... ; 360;
360 4 x=990=li"
§22. Квадратный корень из степени
2
j~@Ш~о@@Ш
n-1 2(n+l)
1) ~и~;
:m~Ш~о@@Ш
4)- и --
(а-2)2 (а-2)2·
8
1~~~~,f%71~~~ 2)7J=('if,~\-v\S~бJs8sf,2(7lrf}\~-~\ О)) tj ~
:~~м,~ ~ с;-; ~Гr::\о ~ '1'N"/1~'\'\9(.п J О 1 / д. ~l L.::::l U JJ Н L
1) 0,44; 044 - 0,53 = -0,09; <; <; 21 21 2 1
::~i~E}~:g@@Ш
§23. Квадратный корень из произведения
5 1)8·9=72; 2) 4 · 12=48;
:~~; ~· ~ ~ ?--. rr:J@)M
2)~~4 9 D) q)~ Ш
144 144 484 484 121 121
6
;~~(~Ш~о@@Ш
8
1) 2..rм;:z - ..ГzТs = 12Гz - s-Гz = тГ?.;
:~~~~Vcs~P@Ш .;~~~щ~о~
10
1~~2ь'l,;D~ьWаБ~М 2)4~~'@:][Q)~о~оШ
12
1$Ю){Тз\ГзfМ~-,;; з~~~м Z)(f{j~'(\~ ~7(},J-; А~~7П~ 7.
13
~w~~~~'~K~(Q}м
15
1) 4· 9 = 36;
2) 6 · 7 = 42;
3) 4 · 7 · 15 = 420; 4)0,6·8·5=24; S)v'i44=12;
-J~,(r;l~~o@@Ш
9)~~~3-2=36;
FП
10) = ..Гz-:в = ../1б = 4.
3
:~[3Гз~~7@~~ 2)eyзr1з!_-\_i.l~YJ=tY1r-r==u,1~\V~~7\J JJ t-j L
§24. Квадратный корень из дроби
1) 1,5 + 6 = 7,5;
2) 28 - 23,375 = 4,625;
3 ~=~=!~) ~81 9 9'
:;1fro@П) ~ о@@Ш
6),/9 ~ З; 7)#9 ~ 7; 8) j6'i ~ 36.
(а+ЗЬ)2 -lа+ЗЬ]'
~.П)~о@@Ш
11
l)W~6?,~~,A~~
:~Мt9~~4~+s~Гr::\~ 2)3fafr4~t\+l4b~_jбlfьt~Ьio~-\/:!.-Б~JQ. JJ tj l
9
~&'@>ffi,~o@@Ш
ГЛАВА IV. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5
-@~ ~ [email protected]
-Зх2+2х+~=О I -3
10
1) х(х + 2) = О. Ответ: О; -2.
:~1:1,,=~,н :~,е:~,'.,ш ~ @@Ш
,, ,J lo. а, -, D О
51( - 0 е. О
6)(2х+З)2=0. Ответ:-1,5.
10 15;
:"~,s ,,,~~~ @@Ш
7· 4 8 41 З· о
n'= ; 1- 5' 1 ; 8 .Q4 1 2. Q
Ответ: меньше.
::~ffi3 ~;~ GJ rr:1~~ 2)(i-6(Jl~=v.:_~x~-,=~rвy-~2-~\ ~\ О JJ t1 L
§26. Неполные квадратные уравнения
3
1) (х-8)(х+8};
2) (у- О,4)(у + 0,4);
if~@Ш~о@@Ш
7
l)x2 О; х ь О. 2)х2 16; Х=±4. 3)х2 81; х=±9.
;1~,~1to}~ о@@Ш
8)3х2-12=0; х2-4=0; х=±2.
11
аЬ-а-аЬ+Ь -а+Ь Ь-а
9 11
О·х2-1=0; -1=0; нет решений.
ах2=1; х=±[.
~;:р0: й• @Ш~о@@Ш
2х2=а; х=± ;. Нет решений.
10
:~@Ш~о@@Ш
11
1)(3х-8)(Зх+8)=0; х=±2~.
;:~не:р~ш'":\о.~П) ~ @@Ш
4) х - О;Ах О 9. о
5) х( 5 9} О; О; - 2 • о Q
б)х2-7-2=0; х=±З.
§27. Метод выделения полного квадрата
3 1)9;3;
:~&@Ш~о@@Ш
4
:1:,, ,\~ .~ж~,,~(о;м
1~-С~Ш~о@@Ш
х-4=3 или х-4=-3. Ответ:7;1.
21
х2+ 2 · 6· х+Зб=-11 +36; (х+6)2=25;
х+6=±5;
х+6=5 или х+б=-5; Х=-1; Х=-11.
х + 1,5 = 2,5 или х + 1,5 = -2,5;
Х= 1; Х=-4.
Ответ:1;-4.
41
х2-5х=14;
х2-2 · 2,5 ·х+б,25 = 14+ 6,25;
[i&@·П) ~ о@@Ш
7
i~@ЗШ~о@@Ш
Х=-4;-10 21
х2 - 10х + 25 - 25- 24 = О; (х-5)2=49;
х+ 1,5=±4,5. х=З;-6.
[email protected]П)~o@@Ш
§28. Решение квадратных уравнений
3
:~~'WJf¼n(c;(o)м
,,., i):j~,[email protected]
, неткорнеи. 6) О< О, нет корней.
5
i~°C~Ш~o@@W
Х1,2=~; Xi=-2, Х2= 1,5.
21
~&@Ш~о@@W
Зj '
4х - 4х2 - 5 + Sx + х2 - х = О;
:~-С~Ш ~o@@W
6
i%5;т;~ т ~ nСс5(о)м
7
:~m{~Jm'~n(c;(o)м
8
~&@Ш~о@@Ш
21 s
0= 196-4 · 5 · (-3)= 256;
-7±8 Х1,2=~;
~~&{§3Ш~о@@Ш
::·:=-3, :2=;;.
~-~ш~о@@Ш
13
1~2 ''tiv,5)-(,~3 , l~н, ,~s, ,'-~-4, ''ос- м'
2) - a(ia 6)= а-~+ а= > . Н
"" n ,r
9
lm@Ш~o@@W
Х= 2,5.
21 (Sx-1)1=0; Sx-1 =0; Sx=l; х=О,2.
Зj
\~&:@:lш ~ o@@W
-7±13 Х1,2=1~;2
Х1=5, Х2= -3-
Sj
x(Sx-3) =0;
Х= 0 или 5х =3;
10
i,:-(: "t,о'@П) ~ o@@W
Х1,2=4;
Х1= 2,5, Х2=-2
21 2-4х-бх2+3х=0; бх2+х-2 =0; D=49;
-1±7
\~д\Gi6 Ш ~ o@@W
D=49;
-3±7 Х1,2=~;
X1=-l, Х2=0,4
41
12х2 - 12х - З - 4х2 + 2х = О;
~@Ш~о@@W
§29. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета
4
1)-5; 21; Х1= 7, Х2=3.
ii&@П)~о@@Ш
нет корней.
5
_:: 1 @П)~о@@Ш
7
~~т~n~(о)м
14
lj>;>;c;~~~""~(md~ ~~m
2)а-Ь> · Ojiп ои в л'!Jи л о отри а г& ~т цательное
число, т.е. Ь} с ,1) . n l r
9
11~. ~,,.~)[)) ~ Сс;(о)м
2) = 1 q 1,.6, х2 х .
Зjр 1 q -1:, н -о D Г) о t;;I
10
~Л\~~~n(с;(о)м
11
-2 -3 3 -2
~2 5 • @П)~о@@Ш
2 -5
12
1) (х-2)(х-3};
2) (х+2)(х+З}; З)(х-З)(х+2};
~:С ':ф@П)~о@@Ш
8) (х-2)(х+5}.
13
21 -Зх2-х+2=0;
D= 1-4-(-;) · 2 25;
X1=-l, Х2=3°
Ответ: -З(х + 1) (х -f) = -(х+ l)(Зх - 2). Зj
¾х2-х-12=0;
D= 1-4·0,5 · (-12)= 25; Х1= 6, Х2=-4.
~~~П)~о@@W
Ответ: -~х-4)(х-4). SI
¾х2-Зх+2,25=0; /-12х+9 =0;
D= 144-4 · 1 · 9=108 36 · З; х1=6+З../з, х2=6-З./з.
Ответ: ~х - 6 - З../з)(х - 6 + З../з) бj
~~П)~а@@W
м
~
~+5)~-~ --.-_-2-=x+S;
~~
~
15
[email protected]:Ш ~ о@@Ш
16 11
(х+З)(х-2) х-2 (х-4)(х+з)=х-4'
Ш@~ ~ [email protected]
-], Х2=4.
---6, х2=4.
17
18
iiti}[email protected]~1~ о@@Ш
§3. Основное свойство числовых неравенств
20
~t&@П)~о@@Ш
21
1~1.1\fсщ~ ~ n(с;(о)м
22 11
2(х-7)(х-О,5) х-7 Z(x+S)(x-0,S) x+S;
D=225-56=169; Хц 15~13; Х1 7, Х2=0,5.
ХТ--х+
0=4; Х1,2 l\±2; Х1=7, Х2=5. 0=100; X1,2=D~l0; Xi=-5, Х2=5
§30. Уравнения, сводящиеся к квадратным
3 11
0=196-4 · 3 · (-5)= 256;
-14±16
~Д;ь~П)~о@@Ш
t1,2=~; t1=4, t2= 1,5.
4 11
±2; ±5. Ответ:±2,±5.
Х1,2= ±4 ХЕ 0
Ответ:±4.
(x-S)(x+l}; (x-S)(x+ 1} *- О;
умножим обе части равенства на (х - S)(x + 1} *- О;
~wЖ{бпШ6~1~'-8?г50ш
~)0tja~нJ~иCJ1~ae~pQ~o~cтвo;
2) при х = 1 данное уравнение обращается в верное числовое равенство. Ответ:7;1.
7
t2-t-12 =0; 0=49;
1~~П)~о@@Ш
Х1=О,Х2=-4 Ответ:О;-4.
8
11 X2=t;
t2+ 2t-24 О; D=4-4·1 (-24} 100; t1=---6
Х2=-6
Х Е 0 »с ±2.
t1=3
Х2=3 "
Х1,2= ±./3 Х3,4 ±½
Ответ: ±.Гз; ± ¾
9
1 4 2
;-=з+~=~;
[email protected]~x:~@ш
Х1 = -2, Х2 = 1. Ответ:-2; 1.
§31. Решение задач с помощью квадратных уравнений
1
irд1~~ffi ~ о@@Ш
:)~~m-~~о~.Сле~~~>О 2) Е~и f '- @Ш~о@@W
ь2-2ь > ь
~@Ш~о@@W
х - первое число, у- второе число. По условию:
r х +у= s, r х +у= s, ( у = s _ х,
lxy- (х - у)= 5, lxy- х +у= 5, ху- х +у= 5,
]f~~Ш~о@@Ш
У1=5 У2=2. Ответ: (О; 5), (3; 2}.
f x-y=Z, f x=y+Z,
lx2 + у2 = 100, lx2 + у2 = 100, (у+ 2)2 + у2 = 100;
(н:,н9:"';~100· Ш ~ @@Ш
у , - fl>~o; D О
D-19; Q
У1- 2--<;
Х1 =8. Ответ:бсм,8см.
8
f2(x + у) - х = 57, f2x + 2у- х = 57, fx + 2у = 57, fx = 57 - 2у,
l ху = 340, l ху = 340, J.. ху = 340, l ху = 340,
~JiJ;~Ш~o@@Ш
Ответ: 17 см и 20 см; 40 см и 8,5 см.
х ч - потребуется первому комбайну, уч - потребуется второму комбайну. По условию:
{ у - х ~ 16,
zз!. zз!. y=x+l5,
~ + ~ = 1, {70(х + 16) + 70х = Зх(х + 16),
~~:!Щ@ Ш ~ о@@Ш
Yi = 40 + 16 = 56. Ответ: 40 ч, 56 ч.
ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
~тичной функции
П)
2 11
3; 1; 5;
О; -1; -3;
-2; О; -1;
~~ffi@:tO)~o@@Ш
х Е (-9;-8) U (-1; 8}; х Е (-8;-1) U (8; 10}; х Е {-9}U (2; 6,8).
3
~~&@П)~о@@Ш
10 11
х'
У =3- 3, у= 1+х2, у= 4х2 -12х+9.
21
х'
3- 3 = О; х2 = 9; х = ±3;
1 + х2 = О; х2 = -1; х Е 0;
:~g~@'~о@@Ш
у(-2) = 1 + 4 = 5;
у(-2) = 4 · 4 - 12 · (-2) + 9 = 49. 41
у = 1 при х = ±3; у= 1 при х = О; у= lприх = 1;2.
§36. Функция у = х2
у
В'
nгса ½, ,v'l l
' - -У;)_~ к:'./ ' "
& В {1г !-о '
I lr1 l'i''I'(\"" I л ' (J
- 1) I~ 1Г) '- '7" I ~
" ~"' ' , ' ~~~
l : I I 1 1
I l I 1 1
I I I I 1 11 (2; з), (О;-2); 2) (-2;-З), (О; 2); З) (2;-3), (О; 2)
4
,~~·Q~~ ~@)М Z)ts'Ш~й~t::_~o~ 0 ш
\ I
\ I
~- h ' 9~ -- ~~ 1,G) ~v L-
-f-
1\ JI tfr '71 / I ,~ > А
~ \ Iii '-1 ,., () Ir 1
" 7
о '
Ответ: 1)-2; 2; 2) а}[2,5; 4]; 6}[0,5; 1]; 3)(-4; -3].
12
ir$(д\(~ т ~ nСс5(о)м
13
.
11
I
- --, '1 ,'- I:,;)\ ~ - i\
тт 7Л ;' Г' V J
r \L ~~ \. ..,11
I -с лп
1// у 5, 7 ,
11
11 О !J
IL
1 §37. Функция у= ах2
о '
\ I 7
-1 \
' l i'\ 11 / I' V J
" I • ---, I I / .4 1~ .-1 I
' \L fil ' I 1/ 1) '- , ''-'i:; 'It l
I I \
1" I Ji
о j '
I "
I 1
I I
I 1/
I'\ I
~,г,г'I /i I'~, I l I V
_ __::- .~ ~~ J:i', ~~ "i",,-11 ,,л, d ·~· 1 ~"-~
-~ f
I \
I I \1
1 I I I
I I I I I 8
if;?f~~m~n~(o)м
10 11 а]
у
у
1\
о
I 1, ' 1\
' 1/
h ~
Г\ j, . I • Т' i~ I'-+\- ьrп I'\ l
,, ,, fil l'i ь ~u ""
jA \, k,,c-
/ t,1- ~~
lг:;, I/
I 1'-
I о
' 61
2) Ответ: а)а < О; б)а > О.
3) Ответ: a)lal > 1; б)lal < 1
12
;fi@Ш~о@@Ш
14
I
'
\ I
>--- - >--- c--r />--- -у-',
- ' -р ~- (F ~и ~l/l
0 r---'/ '
-~ J~~ [1:_ г' _г,
-- ~l)P
о '
xE(-oo;-l)U(З;oo).
§38. Функция у = ах2 + Ьх + с
2
!1&\@Ш~о@@Ш
11
~'~~~ т ~ n(с;(о)м
:~A+1fw]~ с;; ~(';;\~ 2)xyr·15~+\2t-~7j5~x-p;rz1, ~\~\о JJ н l
9 11
l
11 I/
I
I
11 1/
I
I
11 1/
I
\
I
\
I
1\.1.ll 1--"J.,,'
1\.1/1 1-"JL
о
о
Зj
l
_l
I
11 I I
11 11
I
11 11
I
I
/1 1/
\1 1\ I/ I I/
\ I I \1 /
10
~~~I:~~ о@@Ш
11
11 --iг1~vcтi Г-l\ ~ ,,,...~ -vт;i
I д1- I I I /IZ ,;->- (~ '~ '-1 I
i 11[ 1'1--. J 2 .__ ё\ '"' '-..-/ '"--~ JЦ.J
I I
I I I
I \ I I I I
'- ~ I
\ I \ I I
\. 71 '- J
о 1 ' \ о I '
'- /
:;--~~f 7-:t-lL !L Г [ТJ ~ Lf-i(= lJD -~1---
-~~I __ J _~ .~ о '--"
~-" \.... I ~/
' I
lv--x =х'"
.1 I
11 /1
11 II I I
I 'I
,\ I
,\ I \ I
\ 11
- -f-- -
Г\ "\k, с~ ~ 1 err ~LJ ('щ flj I Г ,
L } "' ~")_ \,J 11,
~- ·~- --,-- -г1 т I ·1 т 15
2с + Bl; = 2х
11 I
11 I
ill 11 /' 1.\ / '" ) I /1 Г\ rv J
I I • \ hJ J ~ ,:'1_(с! 11 ~~ ~----1--
r 11 ' 1) ' /
16
1. - - х ,, 4
I/...,
и \
!11. J 1/ 11 I - ) 111- '> V ,J
I I • '~11 I IA'IJ,u 1 l - н '
' т 11'- ' !у, 'I ,J 1'.._1 ..•.. , V, и, ..J
I/ I '/ \ \ '
I \ \
у !<' у -х 2' 18
~Pl!-f:~(-ffiSIШ ~ о@@Ш
§39. Построение графика квадратичной функции
2
~w~~Ш~о@@Ш
(1;11 1~; 10~ ~;1!..!:.
О; О) 0;4 (О; 41
(О; 0I, (2; 0I (4;01, (--0,5; 01 ""'
Н--++У-Т '.I I I I 11 I t-vl I I I I .IJ,rl I I I I I ~ ,_(j__j_
' I
\
\
::a,s,-,,wr.\ Q ~ ~ ГгJ@)М :;~;~~),(-1~@~~~0~ ш
r)----:2;----:2;(1;----:2}
i у
I
I
il I -
I ~ ~' ,. е
' т '.\ ""'
I 11 ~ ~ м
I~ 1/ ,Lil "" -
( I ;о I J J' l t; ,-~ ,- ,-,"-'-'
-,1 )'- 1--'1-
I
I
I
/ '\
I
J/ \ - I ~ (he 0' ·.r
-- f- ( ~i ь-~~ 1 I / }-()- !,._ "1
-- . -- 1'--.Ь 'c:_V ~JLU
I I
L.1~~0@~ ~ в}4.
\
9
lШt@П)~о@@Ш
~~
3 1 2
'
I I
гил -,,_ IL~ ,- )',_ = / , VI
\ ' ~ ~ ll ;}- 171. I 1./ ~ ~~-
r Ir 17 "' 1) " \.
I \ I
1\. а ; '
12
,1 1\
I
,1 1\
I
r
'
I
\1/
1)-2- (~ 11:-~ t--1-1-
r, I n ~
1 I I 1
1 I I 1
l I I I I 1) х<-1,х>З, 2)x~l; З)наименьшее;-4; 1.
14
1) Х =-3 · 2 =-1,5; Ymin = 2,25-4,5 + 4 = 1,75.
::::-~:1-:?&)02: ~~~4;~-.w. ГrJ(n'\o ~
4)х=1: =, А ~ ~вl ~ ~~
Ответ: 1 · 6 х , / 6 - пр 2 - , зQ, = ри , 4 min - ~~ ри х
ГЛАВА VI. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§40. Квадратное неравенство и ero решение
1
1) (х-б)(х-3};
Ш[email protected] ~ о@@Ш
D = 1 + 48 = 49, Х1 = -2, Х2 = 1,5 4)-З(х-з}(х + ¾) = (3-х){Зх+ 1}; D= 100-4 · 9 =64, Х1= З,х2= -з"
2
-
::1111•
41
3
1) {/; !z. Ответ: х > 3.
~Ш 1f ~, ,~,,~ ~@)М х:8~ - х (х+ 1 {~~~ ~ Q ~ uu
{: ~ l; о: х ~- _\, х Е [2; =»
{:~~:~: {хх~~-\ хЕ(-оо;-1].
Ответ:х Е (-оо; -1] U [2; оо). 21
х2 + х -12 = О; D = 49; Х1 = -4, Xz = 3; х2 + х - 12 = (х + 4)(х - 3);
с~:: ~: {\>> -/, х > З;
[email protected].~ o@@W
Зх2 + Вх - 3 = 3 ( х -½) (х + 3) = (Зх - l)(x + З); з(х -½) (х + 3) ~ О;
10
1) 4х2 + 20х + 25 (2х + 5)2; (2х + 5}2 ~ О. Ответ:хЕR.
11 11
x2-4x+S=x2-4x+4-4+5 (х-2)2+1; (х-2)2+ 1 >0
Ответ:хЕR.
21
~~,:~m+~IoJ~~~es@ш
Зх2 - 12х + 16 = з( х2 - 4х + ~) = 3 ( х2 - 4х + 4 - 4 + f-) З(х - 2}2 - 12 + 16 = З(х - 2)2 + 4; З(х-2}2+4>0
Ответ:хЕ 0.
13
~~wh\69~5.~;~ CJ@)M бх2-~~-~~~ о~ UU
ix - 1,5 > О, ! х > 1,5,
2 2 х > 15·
х+3>О, х>-з, ''
rx - 1,5 < о, r х < 1,5, 2
~,:[email protected]) ~ о@@Ш
9х2 - бх + 1 = О; (Зх - 1)2 > О; х * ½-
Ответтх Е (-оо; ½)u (½; оо)
Зj
D<~~б~у- ffi~epece~,o~. М' арболы
напр л t н11.з, то а н хlо/т о ю ОХ н~ - 2 + х - 4 < о
~~::;ясп л 1х Q
§41. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
4
11
'"",~~~,, 'О", ~ ~ ~
4х-х - х - , ~2 4. in _,.,_ \PJ
ni I I
I \
о
I
l \
I
Ответ:О<х<4. 21
1) Ветви параболы направлены вверх, т.к. а= 1 > О; 2)х2+2х-15=0; D=64; Xi=-5, Х2=3.
V
\ I
\
~J -~ -- ~~ ~.___ - rh
r,_ I" >'"i 1 \ -о ('-- '1 г
I 1 n \ о~ l • I "',I JC\ \ч v ½
l f- f--\-
'\
Огвегх я -Бгх а З.
31
1) Ветви параболы направлены вверх, т.к. а 3 > О;
2) Зх2+ 14х=0; х1=0, х2= -4 2
,
11
I
j
о I
3
I
\
О,ае.-4'~~~~ й7 ,,~~ ~
~'~~ '-'--+- 5 11
2)х2-4х+б', Di /2;,t6'~" "~' л~L)6~rst_soap,sce,
действител~fны ~
\
I
о I
Ответ:хЕ0
21
1) Ветви параболы направлены вниз;
2) -2х2 + Sx - 4 = О; D = 25- 32 < О, значит, парабола не пересекает ось ОХ, т.е. -2х2 + Sx -4 <Опри всех действительных значениях х
'
о I
I
I
I
I
ОтпЕ~дд ~ ro) -)o@@&I
I; В~т~и ~а ~ ~;р~ __ нь ~и; D всех действительных значениях х.
'
о
'\
I
Ответ:хЕR 41
1) Ветви параболы направлены вверх;
2) 4х2 + 5 - 8х = О; D = 64 - 80 < О, значит, парабола не пересекает ось ОХ, т.е. 4х2 + 5 - 8х >Опри всех действительных значениях х.
\
\ I
о \
I
--- iv--aвlA22= ~ ~,м--~
1"'\ • \ 0 - l;::s~ ---
n,оог, С .i1J UL': I~ !) '-..:...., Построим график функции у = х2 + З I х I - 4 если х е цго у х2+3х-4;
если х < О, то у= х2 - Зх - 4.
I I
,, '
' '
'
' I '
'
I ~', IL .~J , j '
' V l11 7~ А ,,, [' ~ J
I
' r'il ', ~
"' I V JI )
' I ' ' 1,
' \ 11 '
' '
' ,,
, , Ответ:хЕ[-1; 1].
§4. Сложение и умножение неравенств
l)a-3>0; Ь-5>0;
аЬ-15>0;
Ь(а - 3) + З(Ь - 5) > О, так как Ь > О, а - 3 > О, Ь(а - 3) > О, Ь- 5 > О.
l)x2-6x-7~O; 0=36+28=64; х1=7, х2=-1; ветви параболы направлены вверх.
Ответ:х<-1,х> 7.
2j-2,'.-н6<0; 08-1' 0285., 0-l~S, 01; se.~, а~о '"[Ые ""·
От ет: < ,5, >1
3) 2 2 О -J/»J О; D 9 ofp; х = ,б· етви а л I Ga н в рх.
Отв .х ,6. Q
41 ~ > ; 0 6 - 84, ; , Е 0; ветви параболы направлены вверх.
Ответ:хЕR.
§42. Метод интервалов
:~(,JA-1w-;i!J ~ G; ~Гr::\~ 211~-f1't~1~V1~ J D ! / ь-~ ",~\О JJ t1 L
Ответ: (-3;-1) U (3; оо). 21
ШЕылr~:е[email protected]
Т 1-1 I I I 1---Т Ответ:(1;3).
Зj
х(х2 - Sx + б} = х(х - 2)(х - 3).
6 11
Х1= 2, Х2=-З; Х3=4;
~r~rsП)~o@@Ш
х=О; ±1; ±2.
Ответ: (-2;-1] U [О; 1) U (2; оо).
~~u~~~o@@W
c:~~~~c~+c;-J
[email protected]
х2+5х+х2-15-Зх-х2-2х х2-15 (x--Гls)(x+-Гls)
~@~·
Ответ: (-Jis; О} U (3; {Is).
9
#JJTШ"М::~~,~@@w
г гл I I I 1--Т Ответ:[-f;¾].
10
Зх2 - 1Зх - 10 = О; D = 169 + 120 = 289; Х1 = 5, Xz = -¾- 2х2 + Sx - 12 =I:- О; D = 25 + 96 = 121; х3 * -4, х4 * 1,5. Зх2 -1Зх -10 З(х - 5) (х +f)
[email protected]
Ответ: (-оо;-4) U (-f; 1,5) U (5; оо}.
::, + 17х - 6 ~ О; D ~ 289+ 7~ ~ 361; х, ~ -6, х, ~ 3'
З(х+6)(х-,) ~О. м
~@ш
. -6] u (о;¾] u (1; со).
Ответ:(-оо,
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 7-8 КЛАССОВ
1) 4 - 0,0001 = 3,9999;
2) (1- 0,001)2 = 1- 0,002 + 0,000001 0,998001
5
1) а3(а2+ 1)-а2(а2+ 1) (а2+ l)(a3-a2}= а2(а2+ l)(a-1);
2) 2(а2 - 4Ь2) - аЬ + 2Ь2 2(а - 2Ь)(а + 2Ь) - Ь(а - 2Ь} = (а - 2Ь)(2а + 4Ь - Ь) (а - 2Ь)(2а + ЗЬ)
2. Уравнения и системы уравнений
1:,:,77i~з~-~ ~~~®~:;7~-3,
Ответ:(2;-3). 21
Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2: рох - 15у + 35 = о,
l lOx - 8у + 22 = О,
вычтем из второго уравнения первое:
6 7у=13; y=l7;
х =½(зу- 7) = ½(~- 1) = -½-~= -;.
Ответ: (-~;1;).
1 5 - бх = 4; бх = 1; х = 6.
~,~~;'в~Wls:\i~St}' ~ 0 (s@)M 2)0=4-lrJ.iaUµ о Ш
Ответ:0.
3)0=25+24=49; х1=-3, х2 0,5. Ответ:-3; 0,5.
~Е::,:5:?:з·;,~,-}~½
4х2-7х-2=0; 0=49+32=81; х1=2, х2 -¾-
х = 2 - посторонний, т.к. обращает знаменатель в ноль. Ответ:-¾.
3. Неравенства и системы неравенств
1 ~111
11 • 1
3х-2х - >
{ х - 2х ::> , , х -< 3.
Ответ:(-2;3).
21
{о,~:~ i:2,
Ответ:0.
(х < 2, х > 2.
7 х 7
-4-2;
li&~Ш~о@@Ш
7 т<с+Ь;
;:g1~~~в}~ о@@Ш
9
::~:,:,s:~+з~;',\~, , ;~ь+ ~· @@Ш
З)а 1; 3-/Ja Ь 4 )2 1~ о
4)а 1; 3, 2 ,Ь2 ·а 2V1 о
10
ilШ@Ш~о@@Ш
:~Аь,~~ w ~Гr::\~ 2)a)4ff2t\',б;~O;JD6;J5~№i9~\ l;:::\ О JJ tj L
§5. Строгие и нестрогие неравенства
§6. Неравенства с одним неизвестным
2
1) З+х< 1;
2) х-8> 19;
~i&@Ш~о@@Ш
' -
4 1)-2;-1;
-'I "
I "
J "
I г-,
-l "
~ µ ~I I ) / ri- 1'-lv ,J
( /,1) :Т'-::~ I J ,/ / 101 \ IA О ,__ N. '
l Jl ~J 1r-c: V' ~7 ,-IL-SJ
I I'-
I
2}_1;7
5
lf@@П)~о@@Ш
8
1) 5,4; б;
2) -8,8;-8,3;
:i&@П)~о@@Ш
6)---0,09;0.
;[f,if])fi'J\~1~(~-~+4,~~w-;i 2)(~-r(xr~ixt-~~~2t1/'-Мi1~\0-~\ u JJ t:1 l
§7. Решение неравенств
2
[email protected]®~o@@Ш
6
1)6х-30>2х-6; 4х>24; х>б.
'wk'\';/bl''lfК'\ ~ ГгJ@)М ::б~~~dOJ~o~ О Ш
:~R,~в~>Ен' а~~~ 2)6Jбt1~;~-~-J,Dx1-r\@14~~:~\-O J) tj l
:~+(ж,.~~3 ~(;::::'\о ~ 2)4)-f>f:S,,; tx~xJff·f;,6тfffA\ l~J U JJ tj l
11
§8. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки
