ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
§1. Числовые и алrебраические выражения
3)0; 4) а} 201:ze2J f02ij_ 6}1}6,55-3,5=3,05; 2)3,5-6,55 -3,05;
в)¾·{-¾)=-¾;
г) 1)-4;: 1~= -~·*= -4; 2)1i= {-4;) =*· {-~) = -¼-
1.10
а}О,~~'"~· ~~ ~(О)м
б}а'F в . р юб х , е =
а}2Н8 k ~., с Rбs,l)pм O• ~ О tJ
а}
1. Подставляем во второе уравнение системы вместо у выражение х + 1: х+ 1 3-х.
2. Решаем полученное уравнение: х+х=З-1; 2х=2; x=l.
3. Подставляем значение х 2 во второе уравнение: у= 2 -1 = 1. Ответ:(2;1}.
а}
4-2х; 2.Зх+7(4-2х}=б;
З.Зх+28-14х=б; Зх-14х=б-28; -llx=-22; х=2.
~,~=~'{;,''"@о. @Ш~ @@Ш
~\=7- х А о о
2.х+4( )-· Q
3.х+28-12х=б; х-12х 6-28; -llx=-22; х=2. 4.у=7-З ·2=1.
Ответ:(2;1}.
§13. Метод алrебраическоrо сложения
13.1
х х
::r:ш:or& .. ,:+xx~:ffi/x~o .. xffi~: ЕБ @®Ш
в) ~х "; + ~ - (а" + · ; lfY О· х2 + > , 7(:)'; 7· = 3,5.
~~:;;=~; 5-= ,8· - _ х-, -3х=- +3;Qx=-4; х=.
2,Sx-4 9-3,Sx 1
е)-3-~-3-; 2,5х-4 = 9-3,Sx; 2,Sx+ 3,5х = 9 +4; бх = 13; х = 26.
13.4
а}
1.5х=15;х=З. 2.3·3+5у=11;9+5у=~1;5=2;у=О,4.
З.(З;q~!?Г:\ Q ~ ~@М
;: ;:'"з\l;jblc' ,cl;~ о~ о ш
з. (---0,4; -2).
х = 1.
2. Подставим х = 1 в первое уравнение системы:
з 7-l+By=l; By=l-7; Ву=-6; у=-4
;:,::~~@~~i~~@@Ш
-{16х+4у=26; lly = -22;
у= -2.
2. подставим у O -2 ео е~орое '"""""" системы:
1,х~.6 ~ +8,~4,Gi½ rr=J@)M :,з,',:"ША1'Ф' "'~~о\2:) о ш
13.6 а}
:~~@Ш~о@@Ш
7х = 35; х = 5.
3. 5 - 4у = 9; -4у = 4; у= -1. Ответ:{5;-1).
б}
1.{~:;: ;у 6~ / 2
3. 2х+3=6; 2х=3; x=l,5. Ответ:{1,5;3}.
-llx = 110; х = -10.
З.2·(-10)+9у=25;9у=45; у=5. Ответ:{-10;5).
3. 2-(-4)-Зу = -17; -Зу= -9; у= 3. Ответ:(--4;3).
2.+{1;;/_2ity == ~~~'
ззЬl@~[о)~о@@Ш
Ответ:(2;-3).
§14. Системы двух линейных уравиений с двумя переменными кан математические модели реальных ситуаций
::'.U&@Ш~о@@Ш
• 2:50х;
• 12:Оу;
§2.ЧТОТilКОеМilТеМilТИЧескийязык
14.2. а}
+{2х +у= ~5~0,
6,::fr~@Ш~о@@Ш
ГЛАВА 4. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
15.5
21 :~~~JD)%; п~(о)м
15.6 67'
ьr
2,1 3 5
- 2
-:' @П)~о@@Ш
k+l 5 (-k+l}
Тx"=vl
=w ----'-----1_1
§16. ТаблицаосноаныхстепенеИ
2.2
!!i:W!:\~т%;п~(о)м
16.3
1)
:, : :,,!_'~\@П)~о@@Ш
16.4 1)
2.3
т +п
::~,'·@@Ш~ @@Ш
в}2m · n А
,)2)mн. Q
§17. Свойствil степени с нilтуральными показilтелями
17.6
:::: m(;,\:'i, r::::i ~ w ~Гr:'\~ в}(4p}1·tr1~(f4p!·\pt; ~4~'-0) / kJ ,,--.\~\о }j t1 l
§3. Что TilKOe MilTeMilTИЧeCKilЯ модель
:;',CW,Qq;c,;J ~о CvJ ГrJfc)\v б}р-~~=~~7=;~~~~ ~ U) ( °1 n\ ½\ U )~ ~ ½
§18. Умножение и деление степеней с одинilновыми понilзilтелями
18.13
~,:75i7[;'\ rcx w ~ ~~(О)м
18.14
,)~w~ ~ ш ~ ~~lOJhJ
§19.Степеньснулевымпоказателем
ГЛАВА 5. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
§20. Понятие одночленil, Стандilртный внд одночленil
§21. Сложение и вычитание одночленов
21.4
1)2у+8,5у=10,5у; 2.y-8,Sy=- Sy; 8,5у-2у=б~·
::;:;~~::'/''':~ .. ,";-_·;:;.~v 4)4х/+)~~;~~~' 4х -{ ~,;l.J;:~f~, - у-~~~ U )~ ~ ½
21.7 а}
: ~::::::м;::;:;:;:~\':"~'~:;;,мv ееду, ,N - 2N, 2s,','"
f:';;;±?~"" ,::~~"~is@Ш
Ответ:О,4п2р'.
§22. Умножение одночленов. Возведение одночленil в нilтуральную степень
22.2
:::::w~ rcx ш ~ ~~(о)м
§23.Делениеодночленанаодиочлен
§4.Линейноеуравнениесодиойпеременной
,., ~шWЕЕ~ @@Ш
1) х Ь· х ie м н , Ь н то ы ел,
2) " а, а е его р" • ооан:V:о , е, r,, О
3) ач ~ремни, треобр а нkf:)lв а .
ГЛАВА б. МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
;:37~'С~W~~@@Ш
1.2
1)_
О,S-1-З O,S+a
1
7-- d+a
~? @Ш~о@@Ш
1 3)0,5+3=3,5; 7-2=6,5.
а}
1. Перенесем все влево: 7х-8-5х-9=0;
2. Приведем подобные: 2х -17 = О; З.Перенесемчиславправо: 2х=17;
~(~l~'~§~о@@Ш
3. Перенесем числа вправо: 2х=-12,5;
4. Разделимобечастиуравненияна2: х=-6,25. Ответ:---6,25.
:;;:WТJs/;\ /'-::-'l Г""\ ~ r::'lr::'\c-v-J б}p{s;t)yS5f+/stA-\t. ( (~ l n 1 7 L ( (~( n JI ц I
§25.Сложениеивычитаниемиогочленов
4.3 а}
1. Выnолняемдеfiствияслева:
х+7+2х+14 Зх+21 --3--=0: -3-=О; х+7=0;
3. Решаем полученное уравнение: 2х = -1; х = -1: 2; х = -0,5. Ответ:---0,5.
25.12. а}
1. Раскрываем скобки: 7х2 + Зх + 5 -Зх- 2х' =
2. Приводим подобные слаrаемые: 5х' + 5 =
3. Записываем в стандартном виде: 5х' + 5.
б}
1. Раскрываем скобки: -5х' + 2х- 6- 2х + 4х' =
::~::~";::::~,д~г':,~~с:ем"~", -т:,~:с ~ @@Ш
1.Рас,рыам о" - 1 J)_ Q о
2. Приво а . 1 ' -8-
3. Записываем в стандартном виде: 1Ох' - 7х -8. ,}
1. Раскрываем скобки: --бх' + 2-Зх + 7х5 - 4 + х =
2. Приводим подобные слагаемые: х' - 2-2х =
3. Записываем в стандартном виде: х' - 2х-2.
§26. Умножение многочлена на одночлен
§27. Умножение многочлена на многочлен
27.5 а}х2+2:х+Зх+6;
~
П{::~@П) ~ о@@Ш
~
27.6 а}8у'-2у+12у-3=8у2+~0 - ·
6}56Ь'-2 - + =5 2-66 + 8;
;;;:/!!?~ ~-' ,ь ;~,~,~.~(о)м
а}
1. Выполняем действия слева:
6х-1-(2х-34) 4х+зз
15 О;-1,-=о;
2. Умножаем обе части на 15: 4х + 33 = О;
l(;,;m~·rn ~'~@@ш
6 0;-6-=0;
2. Умножаем обе части на -6: Sx + 18 = О;
3. Решаем полученное уравнение: Sx = -18; х = -18: 5; х = -3,6. Ответ:-3,6.
§28. Формулы сокращенного умножения
28.2
а}Произведение а и Ь;
28.3
1) {m+n)'; {p+q)';
21 ~ffi@§~ @@Ш
(mн O o(ci: )-m' ; '" ' 0 о'·
~:q)'c р q)p>q) ; >р; ,:(;), р > • о о
m +2mn+n; p'+2pq+q'.
I ::,дршераосо I удаое""ое I квацраг второго I
выражения произведение выражения
25 +2·S·k +k2
l~l:::~:~"ti!Z о@@Ш
I квадрат первого I удаое""ое I квацраг второго I
выражения произведение выражения
(4х}' +2·4х·Зу +(Зу)'
28.9
1) {m-n)'; {p-q)';
2) ~~@~~ @@Ш
(m-e - "}.- )0 ' m ; " ' с с'·
~,-q)'c р q) - ) р - -pq С с~- р > о о
m -2mn+n;
p'-2pq+q'.
4.5 а}
1.На , аме~аs · ~@@Ш
з.веп оо,,.е,,е ж,еаf'\ о
2x+i 2х ~1 + ) ,Ы-
2 + - , О: ·
3. Умножаем обе части на 4: 6х+5=0; бх=-5; х=-~-
:}':~с.\ "~'~ ~ о~@М
2.з::D:rnл~LV ~ Ш
;i~::~"
[email protected]~)0°@@~
I ::,дршераосо I удаое""ое I квацраг второго I
выражения произведение выражения
16 -2 ·4 ·k +k2
1::::1J&&fБШ~ о@@Ш
I ;аадршераосо I удаое""ое I квацраг второго I
выражения произведение выражения
(Зх}' -2·3х·4у +(4у)'
~
),6561; ,,std4.
28.18
а)(в+~/ =64+~+2-=66~-
::(::~~~~ ~
[email protected]
'+~~ З 225 225
28.19
1) a}(p+n)(p-n}; б}(k+m)(k-m);
::1,·~-m,~- "@j" , ,'~e'n, ~ @@Ш
б}(k+m km -К- + -m = ----ЬJ·
3) ' о
а}р'-п; б}k'-m'.
4.6 а}
:~~:~~"дm,~·~ ГгJ@М 2.Об=~~~о~о~ UU
3. Запишем дополнительные множители:
7х+1(1 2,5(2 7х+1+2,5·2 7х+6
-2-+---т-=О; --2--=О; -,-=о;
4. Умножаем обе части на 2:
6 7х+6=0; 7х=-6; х=-7-
;~:;i~@~~ оСs@Ш
2 1 '
2.Общийзнаменатель: 2;
3. Запишем допопнительные множители:
Зх-1(1 3(2 Зх-1-8·2 Зх-17
4.Y~~;i@ ~Q ~ ГгJ@М ::::.ыы~с_QJ~о~ о ш
3
28.23
:;~S~;a\-:gfl\~m~ Сс;(о)м
а}8(8;8с4;~; О О Н
г) Зх; 4у· х -· 1Чi. n 'тг'
28.:U 1--->4; 2--->3; 3--->5;
Ьlt?&@Ш~о@@Ш
2--->9; Ш--->10;
28.28
!i:;1rnS'@3·,ш ~ о@@Ш
§5. Координатная прямая
28.33
i!~~Wffi(~Io) ~ о@@Ш
§29.Делениемиогочлена на одночлен
29.9
24х 12 а)~+~=-4х-2;
б)-33 77xs '+у;;]_ r;:J@)M
,)и,; ,~'~п ~ш~о~ о ш
r)---=s;;г+ -5cd=- c6d-5.
;~';"Uffi"C~"ш·~~-cs@ш
а}а=З. Ответ:3.
6}2.а=-8; а=--4. Ответ:--4.
f::·_"~~7!~ ½2' ~ 0ГrJ@)M
б}x+~t:1~~d~2. ~ UU
::Вер~, .ffiн~-2,,affiбa- "~•2а24@@Ш
~;Верн т.к х l!!( +) х+бхЕУ-8 Зх 1 +1~. о
а}(а-3) = - = а = · а= =Q о .'--4; .
б} (х + 2)(Зх + 9} = О; х + 2 = О или Зх + 9 = О; х = -2 или х = -3. Ответ: -З;-2.
§31. Вынесение общеrо множителя Зil скобки
:}ОД(5ц&3:Е§i ~¾2"~@Ш
О щии множитель на общий множитель
§32.Способrруппировки
32.1
1) a}S(x-1};
б)ЗЬ)~·~~ш~ @@ш
;:;i;a_ \ А о о
2)5х-5 а; Ь 3 и ба-. Q
3)
a}S(x-1}+a(x-1)=(x-1)(5+a}; б}ЗЬ(За-1)+2(3а-1)=(3а-1}(3Ь+2).
32.2
,},,'m~@~ ~(О)м
.!il2a( + +) (а 3 );
ша(2н } з( ,1,} 1 а !U)a"'\J} [) ~ о t--J
32.3
а} 1.,2у(7х-5}+(7х-5)=(7х-5)(2у+1); L,7x{2y+1}-5(2y+1}=(2y+1}(7x-5};
~,~~~fl\,} Q Q ~ ГгJ@)М Il~:=tYi~b~c_O,;~o~ 0 ш
,Lа(Ь+З)-2(Ь+З}=(Ь+З)(а-2). Ответ:{а-2}{Ь+З}.
32.4 1.х{х+1}+2(2х+З};
2.Ф~~-(н~, П) ~ @@Ш
2.Ф I 2 ~••М . о о
4.х{х+ +х+ ).
От"(' ( • о
5.4
1) а}2;6)8;в}8;г}2. 2)
!!li~JF№@П) ~о@@Ш
3) Расстояние между точками А(а) и В(Ь} равно la - ЬI.
4) la-bl.
32.5
2х; 4х; х(х+2)+4{х+2}=(х+2)(х+4); 4х;2х;х(х+4)+2{х+4}=~х+4+2);
,,s,,m, }·§;· Ш~ @@Ш
Sx;x;S х( + ,I!;<. 8·
~;,:;,{: , , , : . D O О
а}(,;~· 2°~з%1, --2~з.о,~. , Jtjl
б}(х+ х } ; х 2= и 4 О; = х-'----4. О е · .
е}(,-31( - " ,i- " , 4 o;Qc , 9"(, · о t1
§33. Раможение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения
5.5
1)-3; -1,5; 2; 2)1а-ЬI;
;\11;l·'1-~f11~ ~ ~ Г
[email protected]
а}l-з (-. I -1s~~~Q~ UU
r) 1-1,5- 2 = -3, = 3,5.
:;:,.~W,}fiq\,1,c=:-'l г--'\ r;:;l ~~Гv] б}Зk'+S'ro,,';vc/4-/1».'\'+(isf~ l n \ 7 L r (~( n j I ц I
33.11
a}з,'~'F\"'r::::'l С"-:'\ GJ r:::lr:::::'\r:;v-;J '}'0'-:J>y' ('1~1\'"f·~i:"'1 1 Г) 1 / ,,f-., _ l ~l O JJ Н I
33.15 a}(2a}3-(4n}3=(2a-4n)(4a2+8an+16n2)=8(a-2n)(a2+2an+4~'·
б}(ЗЬ}~0(Ь>k}(~-15Ь>~k}; %; (о)м
в}(4n)3 7х'= ~ )(бn +9)
r)(бу)'+ m'=27~y 3 н 61'" 9D). n О t;-;1
:;~1~~(.00J,p'-~4~k3~ a'+b'4\27x('+/2~"\21(+f~+12f) j 7 /,...,
4а-4Ь=4(а-Ь); ---4а+4Ь
33.18 343-с"=73-(с2)'=(7-с2)(49+7с'+с\
:;":~~;";{4kl}::б'::\:~k-3){4k'',б~H9}; @@Ш
s"t"+ s• +9 =(s + s" - s'' 8 );
0;001р'~ ,з Зq 0!,,, I' { q о, о:&- q}v Н9 '}; о
z -8=z -2 z- (z +4; ~ Q
27х6+12 у=( х + у )'=(Зх +Sy'} х -15х\ +25у ).
33.20
а}(2а}2+2· 2а· 1+(1)'; является;
:;::::~-2·у•(12)';,е,:а;~""''"', ш ~ @@Ш
r)(k}2 • ·Z 5}'; ел ·
д)(5m]'+2· а (4')2;2 е тся; О О
e)(9k}+ · 8+ }; яетс· Q
ж}(2n}2+2 ·2n ·3- 3 ; не является.
§34. Раможение многочленов на множители с помощью комбинации рамичных приемов
а}
1. '"'""'"мобщ,йм"ож~""" скобки: 4(р'-Еаб"
i::=~a::aa"" ~~'" е ,,1,
[email protected] м 1.ВыноL1Luи :Р- _ oG UU
2.Вскобкахразностьквадратов: d(d2-10'}=
3. Представим разность квадратов в виде произведения: d(d-10){d + 10}.
34.2 а}
i::=:m:;;;:~:;{=i:~:::::~:~'~6~:,::{':'~::"::e:10 Зk{(sl}. @Ш
1. '"""' м 6 , " ж " ас о "Dз{ с 'о о
2. В скоб р · - 2 • • m -
3. Представим полный квадрат в виде квадрата двучлена: -З{с -1- m}'.
34.4 а}
1.По~,й,~. '•'- @@Ш
2.Сгр у · х'-1- '+ xv. '-
3. Предав м олАны к ад твв д к~раа :)(у}-'- О
4.Разло и м жие :{х+у )(х+у+ ). U
б}
1. Подчеркнем полный квадрат: 11..'_-t' - 2ps + s' = 2.Сгруппируем: p2-2ps+s'-t'=
::::~д0';,"":~"о::":;;~ад•Р;;"'"д~е;еа:ра1;адеl"'"""'• (
[email protected]}'-l'"@Ш
~:Подче к м оА ы к ад : 4' k2 n + d' Q О
2.Сгруп и : 4 + 2
З. Представим полный квадрат в виде квадрата двучлена: (2n + 2d}' - k' = 4. Разложим на множители: {2n + 2d - k}(2n + 2d + k}.
,}~@~@@Ш
~:~;;пп ре :i: й; \ 3--(3~- t' а + - О
З.Пред ави полый в ат в ква та a:G- 1 t =
4. Разложим на множители: (а - 2Ь-Зt}(а - 2Ь + Зt).
34.5 а}
1. Выделим полный квадрат: (m2 + 2 · m · 3 + з')-1 =
:;::,:д~::'":,"""Г;:"~д'Р;:', аде~;:::':",~с "':'н~т:~)'- '"@М
1.Выде"" "" ы , " - .. 5Ds} 0 Г) о UU
2.Пред " ад та :~5) =
3. Разложим на множители: {k-5-2:}(k-5+ 2) = (k- 7}(k-3}.
§35. Сокрilщение алгебраических дробей
З п5 1 р2 - зпsр2·
t Ответ: зnspz·
б}
1. Записываем дробь в виде произведения дробей: 1 а4 Ь5 с3
З а4 ьs с7
2. Сокращаем каждую дробь и выполняем умножение числителей и знаменателей: 111 с с
i}'~'~ffi@~'~o@@Ш
1 п4 d с3 -
2. Сокращаем каждую дробь и выполняем умножение числителей и знаменателей: 7 1 d 1 7d
1·1·1·с2=с2
7d Ответ: с2·
;}
1. Записываем дробь в виде произведения дробей:
~-~-L-~
1 Ответ: i
б}
1. Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби:
х(а-Ь) З(а-Ь)
";· Сокращаем получившуюся дробь:
f},::,:~@® ~Jt\~~,~~@Ш
2(а+Ь) ~
-(а+Ь) =
2. Сокращаем получившуюся дробь: 2
-=-2.
-1
Ответ: - 2. ;}
1. Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби:
1~:~@(~Ш~о@@Ш
Ответ:--. 4
§36. Тождества
:;:ее~М) "~~-~ Ле,,с::;;;-~,,,-::::'\~ б}Лeв.~=·(~+ft)~+\0{2{Mx~2f)x'j.s"y-\4p.ч. ~ев(чУФ-n ) I н I
36.3 1)3наменательнеравеннулю.
2)
36.5
. ~хiд""~"'Яо~ыш~м, е ,,, rm
• ,р ж" "'д' .а ю у е 'ff" , ы '""" р "'""''" '!-"';/'" ,,ы,;
• замена н_щ:оыа R у~о ев р~е. U L-J
36.6
а) (-l)r-p) = -\+р =р;п;
36.8
-{3-m) -З+m m-3 3-m m-3
,)---~---=--;
р р р р р
::~~~~~о@@Ш
r)-~=-~=-~; ~=-~-
ГЛАВА 8. ФУНКЦИЯ у= х2
§37. Функции у= х2 и у= -х2
ц '+---V ~ 't--+-
тлжгттлп
l I I Т 1-1 I l I l
37.8
!:;,Wm,~ ш ~ -~(О)ы
37.10
ч
I~; 1-4-тт~ ,,----,-r:::,ГV--:J
,1 '\" • I ~ Г'--
-~,-~CJj_s;~ \ lJ _[) ~ h ,'--1' OIJ ~ I
,_ -"; -v
-~ tr~ ( r ~' 11\- ~~ ~ ~-
11( / •i, 1\ :;-~ г0r-: 1=11--/
r 1 lГ ,, I I о , Iv ' '-- ' - вц.;
11
I \
I
I
_j_j u 1$ ~I р~ И'~ 1, ~I
1\'7 '",i, ;,"Р~ ~~
lr.'1 l'il '
37.12:
i1;S1?m rcx ш ~ ~~(о)м
37.14
;;;:9:F~~ JD)~ п~(о)м
1)1апm""''"З;-::, г~)~"Р"'Г,: ,"-~~
, 1•i1t 1 //4... le J. -~~-
r1 Ir ,, I I - 11 ---
I I
I I I
I
\ I \ I
1/
1\
о о '
З)нет, 4прих=-2·
I I
I I I
I
\ I \ I
7
1\
о о '
4)нет,4прих=2·
S)нет,нет;
I I I I
I
I I \ I
) ,
о о
б)Оприх=О, 9прих=-З·
7)0прих=О,9прих=З;
8)0прих=О, 9прих=±З;
.,
I I I
I
\ I I I
1\
о о
9)0прих=О, нет;
у ·у
I I I I
- -
L ) f I п ,-t ,,,,17 ) - 1 Г'\ IV
\ 'f; \ I I /f.61 г µ ~-
7 ) ~~ ./ \1 t;i -1тr
; )
о о '
10}4прих=2,нет;
11}1прих=-1, нет;
I
I I I
\ I I I
1\
о о '
12}нет,нет;
13}нет,нет;
14}0прих=О,нет;
I
I I I I
I I
\ \ I
7
}
о о '
15}0прих=О, нет;
.,
I
I I I I
I I
\ I \ I
} j
о о '
lб}Оприх=О,нет;
17}0прих=О,нет;
.,
I I
I 11
\ I \ I
IV
I I I \ 11 "') -
1111, 11 '-
'\ ~ -~1-\ JJ.\J;=f\-; µ:1 (+1 ni ~~
\ ,,,, LI
r ,Ir I
I I 1 I I 18}0прих=О,нет.
37.17
17о
I
\
I
\
\
I
\
1
-1
l_
_l
З)-4прих=-2, нет;
о 1/n
I \ \
I I \
I \ I \
4)нет,нет;
S)нет,нет;
о 1/n
I \ \
I I \
I \ I \
б)нет,нет;
7) нет, -lприх= 1;
8)-9прих=-3, -lприх=-1;
у
1/о о \
I \ I \
I I \
I ' I I
9)-9прих=±З, Оприх=О·
10}-4прих=2, Оприх=О·
--t---+--+-+-г-+-+-Ч--+-+-г-+-+-+-+-S-г-+--+--+-+-+-1'-t-S-г-+--+--+-+
J(c,
,'i,J~
L
_\
L
_j
I
\
I
I
\
,б_
1/n
\
I
\
L
_I
_\
I
I
I
1З}нет, -lприх=-1;
14}нет,нет;
у '
1
1/о 1/n
\ I '
' I
I 1 11 '
15}нет,нет;
у
1/о 1/о
\ I \
I I \
I I I
lб}нет,Оприх=О·
17}нет, Оприх=О;
у ·у
1
о 1/n
I \ I
I
I \ I I
18}нет,Оприх=О;
19}нет,Оприх=О;
20}нет, Оприх=О.
·у
/о ' 1,6
I \ I \
11 I I
I I I
_j_[ ) / -- <с Ll ~ нt J_~ l(J№ .,~bl I~
.~ ~ / ~~
,JI~ fi'I_\ a\J: t::,, , t 1 1\ 1)
1 I I ·1 I I I I §38.Графическоерешениеуравнений
38.2:
ч
1~7/ ;;::I }~~~ ~~~-
f 5
-~-i, .,. \. .Г , а - ..J \. r--._l I[
I / I
/ I
1/ I
I I I / I I f I 11 /~ I I'\ V
-- ] / / ]IY О I 7 p~IJ Lл I
'is, \ = '-; ]'-' I , , \. ]) и'
I r
= -зх I
-L,-,1/P. , r :---._ 1 _[! / ] If V
- 1~/! Г.\ l_г I l;f ~ I v ~ ~I
::;;; 'ar 'ii -~16-iJ ~ О с__) б)Ответ:1.
38.5 а}
1.Ра J~ 2 r~ I~ ГVl
2. По 1о#м р фlк эг х н ' о[)
з отме jt;sr~' ~~ йе х с с ~~С-
1- т---.;Л- '~~ ~.i- >-- -" ,, •... .1
Ii " +
1/
I' ·,
' 11
~х
11
I 11
1
1/ о
Ответ:-1;3. б}
1. Рассмотрим функции у х' и у 2х -1.
2. Построим rрафики этих функций.
3. Отметим точку пересечения и найдем ее абсциссу.
'
у~ х 1
11 I ,
,1/
х' \ j
1\
о
I
µ)~o(s~ -v
'& 3. Отметим точки пересечения и найдем их абсциссы.
' / х
],'
о L
L
V _!
1/
V
V
_\
х
Ответ:-2; 1. с}
1. Рассмотрим функции у -х' и у= О.
2. Построимrрафикиэтихфункций.
3. Отметим точку пересечения и найдем ее абсциссу
=IO
~__j_,.:o.нпmw±+m+ttн±
L
-"
I
\
§39. Что означает в математине запись у= f(x)
39.5
~ '~ ~JOJ~n~(o)м
а}
1. Выясним, какому промежутку принадлежит х = 2: 2 > О, т.е. х ~ О.
2. эепишем соответствующую формулу: f(x) = -Зх + 4.
3. Подставим х= 2: f(2) = -3 · 2 + 4 = -2. б}
1. Выясним, какому промежутку принадлежит х = -2: -2 < О, т.е. х < О.
; ~:;~шае;со:,ае;~"~~~V;. o2~V~"V:f~}c2,~-1. @@Ш
~~ Выясни , ак мА р пр н Dит х --4. ~ х . о
2.Запиш щ · 2:х . U
3. Подставим х = ---4: f(--4) = 2 · {---4)-1 = -9.
;}
1. Выясним, какому промежутку принадлежит х О: о о, т.е. х ~ о.
2. Запишем соответствующую формулу: f(x) = -Зх + 4.
3. Подставим х=О: f(0)=-3 ·0+4=4.
а}
1. х = -1 удовлетворяет условию -2 s х S 1.
2. Соответствующая формула f(x) = х2• З.Тогда f(-1)=(-1}2=1.
б}
1.х=О удовлетворяет условию -2SxS1.
;:;:~&~П) ~о@@Ш
З.Тогда f(1)=12=1. ;}
1.х=З удовлетворяет условию x>l. 2. Соответствующая формула f(x) = 1. З.Тогда f(З)=l.
--·-- I
I
'
I I 1 I ,~'+)- _L I
' . \ I I ' IV ~-
l 'i 1~ I
' Jr - I \ 1=1 пг
1\ 1
о 1
I 39.11 l)y=x';
::;:~r.\ Q ~ ~ ~@)М S)ts:;ts u__j ~ о ~о~ UU
б)стираем.
I I I
I
I;
L--т --г-,;_ 1i::;9; _,г f's с= jУг -г
~~ l\tQ В:) ,----1 ~r t:= i t-r-
~ ~..--- !(~ ,=
-г r-, 7't, iC,-1 1'-1" [)1 r-г
n ,-у v
:11
I\ :л
I I 1vггг
~],J 11 1 11 "V' -tJe н) t-г
-г ,~(hi+! '1 --1/Гг /Jjf(1•r~;-1 · F'1, 111 ~г
I 1 I I I I I I I I 39.12 1)
,-,r ~ rrцг---- .гт~ ~:;::~ f' ~'<'~ -1-
I'\ А f= &-) ~
-~~ !I-''",\ \ г :~,r, \ _,
/
I/
V
V о
,-,~ ;:::_~ ,,,- f-' ';= ~lг ~-
с j,--
t' -1 I)<- Г\ ~ >-
-г 1, = LI \ .!,fi,0,,,;,;r0№s, ,0,~0{ "~v,fr>'Hi"H I
7.6
а}Да,т.к. 3· 1-+-4-7=0;
б}д,~·· 3-7~-. [о)~ @@Ш
в}не, .к. · (-1 )
г)~а,т.к. 3 5 (_]}-7 О. О О
{0,7},{2 }, ::'lli' о
7.8
ч
I; I;~.;::;.~, r,::;J D ~ Г'- c-v-J
21 ( 1~1 \, \.П ~ Р 1) LП .r \_q:;I" 01, 11
\
1,
1,
"
"
1""- {61}
, П ,- 1 ,1 I I I I .1/' !VI
1: IJI~·\,+~:!"':', ЬJjиL~Гr\ilF,r--.t-s,1 11 -~
у-,~, ~ \ I .~' /' 1/1 Г'\ /\/1
4),ра ': i-o; D ~ о
S)nрям ; ~
6) '°"" 6; ) про ер, ; •• ~;_""" , Q V \.__,,I IO
7) этого уравнения.
7.9 а)
1: :1'!.,,,,;,~~ ~" ~ ~/"\ГV--:J
I~ I (J l'ill \1 r Р I 1 1 ~ \1 '> р, J t;;
'
1,
'
"
'
"
'
о '
"
" ~ YI' 1~~~1~0Сs~м
1 х I о 111-а11 ,-4
lvl4 .1 hl\7 r\l
/
I/
I/
1/
I/
1/
/ о
r7
/
-~~), •t'i 1-1,..= 1 I J~\lr,,-J,J , rГ Iv
-~~ Чr'l'i 1 ~ ~I:; i(tЙ1Jr~ll_["'Ci г,)~, ~~
I I 1 1 I l I I -1 l ' 7.11
а)
~ l(ce J DJ r:sгo' j ~' l
~ 1 Р1 1LUr '" , l_,,I ][
I'
со
_',
' I'
,,
о
I'
б}
~ [vЩol
-+-+-++-++++++-++-+-+,+++-++-+-+-f-1--1-----J----1-!-_j_j_
'-
~ о
:\~~~: ~t- Ш~о@©Ш
[/
1,,,
О 1/
I/
/
I,
,1
~ [vF2Jol
,_
I'--
,._ о
I'--
I'--
I'--
=ft R~ ~·~ U I Q=vf~ rs R;P!Jt; ~ I~~
~\ ', ~
I г- ' • I l 11 1 7.13
{х +у= 9,
~~Ш~о@@Ш
V '
'
1, /
_u ~- !J 'л u pl 11 ) -аг1 "'-"'·'--- IV 1-'-
t~+G~ ~ . I llv ,Jlt; ~~
J-1 [;1 r, -,, 1- I I ,,, г~ ~~t; 11 i
о I/ '
I/ х ,,
I/
у зl/
I '- !::::J-,-- ннв \~ ~"it;: l/;;i:,.,~t.f ~~
~1 fEi-
-- ~J • 1~ \ 1с;;;:: ~ ~:=:
ltj '--'- µ II-!- 1'--- ~ - Ответ:6;3.
§8.ЛинеИнаяфункцияиееrрафкк
:;'зуМ&®Ш~о@@Ш
б)Зу=2х+10; у=¾х+з½;
~;;:w&~Ш~о@@Ш
З)у; линейном функцией.
:;:f&@Ш~о@@Ш
8.3
а}ус~~.О,~. ~ ~(OJM
б}у= ·{ } у= 7. тв .-
е}у03·,51· у~б,. п,, JD) ~ О Н
8.4
а}у05,-2,5; 8,5°5,-2~5; ,011;~,022. о,~ее,22. ~(о)м б}у=w-5;~,-5х2,5·5х10;х=.тт:.
в}у~S 2,: ,945 -_,s; -_ ~; _=fi\28 От _т: 28. О ~
r)y-Sx 2, ,li;;'fS ,5, - , ~м. тет. , . fl L,,-1
1,
1'-- r;
1:;:-l"'s
о ' о '
' 1\
-- ~ ~) .1 " :J\) [L" l) I - f1 J-1~
• I I Irr Vf.fi 1-f-
r ,Ir' '11 '- 1-f-
I I I
I I I I I I I I 13}{-оо;З); х<З.
8.7 2)
1)
;:' 'I(Д\ @; ;~ ,-,-. ~ ~
~ s; I 11 ,---. '-J~
1/IJ
" г> '
I/ 1/
I/ 1/
1/ " 1/
1/ 1/
1/ о 1/ о
I/ А А
3) 4)
Нет; нет;
О; --4;
--+-+-t--t-t-t-,-' I I , I
1-Г'- !--, - I V ~ Щ
- - " >-- \ I - 1( ,-i..41f--
l J '=, '-', 7 1 1 h,I
- т-- 1-... г- о
' '
' ----
----
~, ~,
5) 6)
Нет; нет;
,.1/ '
1/ в
1/
/
1/ -1 в
/ "-
1/ о "- о
/ '
_ _j 1\ - Id, \ -(1 r; ==l_j ~ I 11).,. J 1- ~ V
1-~
I Л л... ll :t----,'fi
,' L Ir' .'ii \1- I р I -1 I \[ ) I~/ -~
I I I I I I I 8.8 а}
~&@Ш~о@@Ш
1/
/
1/
/
1/
/ о
б}
~ G:EEJ
-2прих=4;
1,
r.__
к
''-
"
о '
r--..
'
L u I~ \ I 1) 11n,'~'(
а} • ~ D
' -1 'ii' о~
, Нет;
/
-1 /
1/
о
1/
/
с}
Г,ГоТil
ппш
Нет;
о
I
I J 1, ).1 1 1
1\ 111• 1 l(г\- ::nt,tl'f i-~ lfU - ' v ~
I, , \ -11 r G I ~r:I
'-' J I ~~
I - l I - 1 l 8.12 1)
'L=rcf ~~~ ~~ ~
~w I; А~' >- I ),I 1 ~ \_ , о J
1/
_/ J
1/
• 1/
:J
I
I 6)
~rзfu ' о~ ~ ,4/ r;::J Г"'-- ~
:_~~If i~, ~щ~II )+,~у1дг~\dЧ) о) ~I Ь->-
1\ \
1\
с;
-+-+-+-+-+--+-
-,--,--+-+-+-+-+-+-+-+-+--+--+-+-+-+-+--+-+--+-+-+-+
\\
'
~ Q ~ ~ ГrJ@)M ~~о~о~ ш
3) возрастает; убывает.
1• ffflllffl
~@П)~о@@Ш
8.15
а}(З;О); б}{О;--6); в){З;оо); r)(---00;3}.
8.16
а}у=4; б}х 2; в}(-оо;2); r)(2;oo}
\
I I I I I I h+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
ттт
I
I I
§9.ЛинеИнаяфуниция y=kx
,.,~m~m~ Сс;(о)м
а}2у= х· = x·I:)<. ].· m
б}Зус ', у ,111' : 2; cQ. D Г) о tj
9.3 1)
~&@П)~о@@Ш
О 3 '
О 1 V , 1 ,
~++±11:+++-жн , I'- ,
' I '
Ш=нM~t-t,t-Eщ+-ftttтm''
1 <'- --j -+
-+--+ - 1 - аЕ
-t-+ -l--j -+-+ -+ ~" '
- 1- J ""t-c, --j --j --j
- --j ~ f- ' -t --j -
-t-t-t-1-1-:J-++- f- 1
- т- ' --j-J-l-j -1-+-+-1,
--j-+ -,r- --j i
-+ -+-+-+ -'--- -/ 1 1 i , , ·
4 1 , ,1, ' -) '.,' , ',,.
' ' ' '
2)
[ill] Lol.::2.J
'
1, \
"
1,
"- '
-" ,['\ '
о r--
-,"
1, ,-
1,
\ '"
1,
3)(0;0); 4)
k>O острый возрастание k>O острый возрастание k>O острый возрастание
kО,з~ачит нкциявозрастает;
б}-2~- З;~· k< ,sass, ф~щ,s о,~· Сс;(о)м
в}35= ·(-; '!_-·k О тфн~Гц\~я бы ег: О Н
г)-32.= . 1<,;is; k о, чи нк~я о а т n 'тг'
9.8 1)
а)
~
6)
1-61--41-2 I 4 I
i!~Ш&'@ Ш ~ о@@Ш
r)нет;О,Sприх=1.
9.9
~&@[email protected]
Г,ТоТТl ГvFsR
I I I I 1
1
I
-~c1i~ 'ftle-!r't::B~l,::-_V- -d :че-1,;, ;i, р h 1·
Р] r - \;!,Г 'f-'/'1/J ll-f- J::;i::i ч,1) 11 ~f-l-
-+- f- f-![:~i",.i-. 1-ЦГ'I I', I
о I I
I I
.1
_µ, J )/i- _lr~.l ~П\ j_~I I f-@@I гфi j_~f-1-
21 оар~""\'';о *"""" ,р\J.,ю; Г IJ . Q I
31 спв IIWJ.W ~u~ L__./ L-
4)сдвинутьна5единицвни3.
9.10 а}
1. Координаты точки В: х -4,у=2.
~,:~o~~":"'.'A'""°@'"""'""YruP'""'""' y~0k" 2°k·(-4@}; kc-0,@)5. ш
~~Коор и ат тvА и : = ,У - О q о
2. Под 1е у . = --4, - ,5.
Ответ: y=O,Sx.
§10. Взаимное расположение rрафиков линейных функций
шшл bl::з__l:1_]
пшп l_y_[_з__[_sJ
,.
I
1/ /
1/
I
q, V
1/
V V
I
I/ 2)
*
ппш
Г,ГоТil G::5П]
~ ¾-;Jr, ~ kl Q~
у 5[ J~1• - vEt=c~f У LI• ;~~~ь1w-~
-- J 'i(t) \\,t- i . l "1~- L) . • "' -·
~ ~ 1-.L -~ ~
·1 /
/ ~.1/
/
I/ о
I/ с
V I
I/ I I
З)
м
ппш
Г,ГоГз1 GiiliJ
,,
I'
I'
"
I'
о
с, "~~ ·г ~[ ~w~ г~г
-"ч~ , г1
-r:1 jZ г ~5 ~ bl ;/j-i::cl'\ '1 J Ff'"п
" 1 I " 10.2
l)П~~,с~· lnl ~ ~(o)w
2)np ь п леьнь,
З)орsм,е о,,1,ю. L\ n 'П _ о н
a}k,0~~02,~, ,~ф""~"аю,~s м
б}k, 1, = и 1=, 5· k,-k m = р икис вп .
a}k,02, , -2 е~, - , ,1;"71k,;~,p ф " •~" о н
10.4 а}(--4;-5}·
,-J,,...L, - v-,.,.. !-I- I г+-+, J..--4--- ,,-1--- - ;-
=:t,;~_ 1'\,~ J r r1 1tt.1--11~11r,• t,.i j ._ ~-
--н R~~~~~~ ~JK~UJC~~R~~~~~-~-
1/ V
1/
DI/ •
; I/
1/ IV
--~ 1/ -\ \
Iv
А
~~- -~ .~~ r;;~, i- ,,-~-v-
,н,,ц,.., • f(?,017:'~"(a:),d,Q н
,~ ,'ii ,\ , , ,_., Vr-.. v~ilc'
1/ /
V I
1- 1/
1/
/ /
_,,- о ol/
_J 1 -;; iL.kJlll'J [\ iv'
- I'\ 11 • - Q V+Tv- "Fi7 "' - :;: ~-
1 с ,le 'ii'\ ,J(J r l t""1л \J ;() IJ nr ~-
1 1 I I I I
в}непересекаются·
ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ll.Основнь1епонятия
,,.,ll~@~~ @@.Ш
l)x-y- = ; =li.x 1,; 4 J'\ О
2)анЬ • - ; 1) Q
З)nара V енн , ,п ающ ур нениевверноерав ство;
4)бесконечномного.
l)х+у=З и у-2х=-3;
2)с"~-~ей"~"~'~""'м"@· @Ш
З)G_ х ' ,• о
:::"';,,:. й ,У, р вращ ю ,oQy е """" ,(9, аве ·
I I I 1 1 ,..1 I I I I
, , У, зГ:: I 1 I I I 1 I I
'" 2 _j I
1 1\ IJ '/_, I I
. к iz:])
- гт -
r l'il I ll ~)- ,(1.д,_ - I
I ,, Qи fij1• -
о ~-
~ I I
- u'\ ~ I
• - - 1 o,'J=~ ,_у
,1
- ~ ~ i:,- Q " ~~-
·~ I \' 1) Г / kj --
1 ·1 1 l 1 1 11.4 а}
1.С,~ ""~'':, " "."rG ~w~ ~ ~l
_,_ U),c 1_§т=: ги "-[r\ I"; Iv -1-
-- 1 '-
- 2 о
/
\ 1/
о L/
/
/ \
/ з + Ь,- 2 о
11.5 1)
§12.МеТОДПОДСТilНОВКН
~&@Ш~о@@Ш
пшп ызш
I I I ,.,1 I I I I I
'
1\ л rx I
-е-1,) * I\_ 1/' 11 ~ I- I у= ' у I
-~ -1ь ~~ ti I I,- ~~
Is ·-r- 1r ' - 1 I\ ; L,, ш
u f
\
[\ ~ 4 2
I
~,е~ ~ 4. v" ш г оеs·~ш
~;;_:_:х 3 ~ ~ ~\- ,4. J о 12..2. 1)
-'--.-'lD uu ~ с_-=.,; L_J u '-.__,/ '-.___/ LJLJ
_,_~ I I I
lY 5 + у l~x 3(
I
-Щ I 77'- I ~1=::. --1.~ ~';!' .I.L- CJr1~pg-" \_>:С r-~
-~ill--~ •. I ' г '-" "'i, / I~ t-~
L 1- , I I , ) esl 1\ш"' 1,
Реш"'1I" 1' 'R' "" се Г,Ь,, ау aef<',. О
2.)Sx+ = Sх}?8_5\-1s!.Ь-3оп -blx - ; 360 \ ~)
3) у" 5 · Ji.a.М._] ~ ___,) '-.._.,/
4)(3,6;2.4}.
