ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§1. Натуральные числа
r)645498+2-8787=636713.
11 а}210=1024;
1:~&@Ш~о@@Ш
9
l)St; 2)5t+ЗО;
:~Ш~о@@Ш
§10.Системылинейныкураанений
:}~3·~~2~,1,-::::'lГ,::\~ б}He',влreтtя,4.к\2i(-{M-f=FJ+f47дli*~ l' L::::t о ) I н I
а f8-6a+7=-5, (6а=20, (а=З~
)l-16+12-б=Ь; Ь=-10; З'
1 Ь= -10.
Ответ: а= з3; Ь = -10.
6 ( 4+42-б~а, ( а~4~~40
:~&~;~c~o@@W
3 1
Ответ: а= s4; Ь = 2z-
9
~~сrа~м сге , "@' aaor[Jypae ,~- @@Ш
(5х+з + ~о.А D О
б~х-9~ . Q
\х+6у+18=0,
lx-4y-2=0.
Составим систему из суммы и разности уравнений: \Х+у+8=0,
l у+ 2 = О.
а}
r~l:i&@гffi,~ о@@Ш
,}
Составим систему из суммы и разности уравнений:
{;:;~=;:g; или г+z;;;_=о,
д}
[!5:
[email protected] ~ о@@Ш
12
cz7)6 242
m@ш~о@@Ш
10 2
х=5у+4=-3+4=3"
Ответ:{¾;-¾).
б}
+{~:~:~=~~;
бх = 15; х = 2,5. 8-,
у =---т-= 2,75.
Ответ:(2,5; 2,75). е}
+{~\-5;==4~,
Зу= 7; 1 у= 2-. 3
35 2
Х=4-5у=4-3=-73°
Ответ: (-1¾; 2½).
;}
{ 12
9х+Зу=-5,
+ 2 3х-Зу=-6;
2 2 9Зх = -85;
126 х = -ш-
4 378 4 262 117
у- Зх 5 145 5 145-1145·
Ответ: {-ffi; 1 *).
д}
+ {;;х-/;;у == ~6;
54х = 79; 25
х = 154.
у- ~(:-х)- ~{: 1::)- ~{~ ~:)-NаОтвет: { 1¾¼; ~).
е}
:~@П)~о@@Ш
7У-3У = 47; 31 31 21У =7; у= 3.
2 3 3 3
Х=-зу-7=-2-7=-27·
Ответ: (-2;; 3).
ж}
+ { _2;//[у == \
9у = 7; 7 у=-.
9
х = ½с4- 7у) = ½( 4-~) = -NОтвет: {-N; ~).
а}
f-5x + 13у = -2, l 3х- 7у = 10;
+ Г1~5: ~ 3359;: 5~~,
4у = 44; у= 11.
1 х=3(7у+10)=29.
Ответ:(29; 11).
,}
р1х + 13у = О, lx+y+1,5=0;
+{ -/1~х _+//J == 1°6,5;
2у = 16,5; у= 8,25. 13
х = -11у = -9,75.
Ответ:(-9,75; 8,25). <}
{ _::: ~~; ~; =0,0;
+{_б~х--18Jу~ 21,; ~ О;
-23у+О,5 = О;
у~~;!с-
х = 4 ' У. )д= - : ' о о
о,,,51~ @П)~о@@Ш
11
!:=~Гл\ Q ~ ~ ГгJ@)М a1=~,~w-~u~o~ Ш
Значитсистеманеимеетрешениfi.
б}
{х-2у+¼=о,
ЕW&{~еП) ~ оСs@Ш
{zx - Зу+ 1 = О;
а1 = й2,Ь1 = Ь2,С1 * Cz.
[~i;"~&"?r;S ~ ~ ГгJ@)М
a1*~,ljffi~u~o~ UU
Значит система имеет одно решение.
12
~:,~&@Ш~о@@Ш
Значит система имеет единственное решение при любом а. Ответ:а Е R.
б}
{YYJJ
2 7' 1 k1 =k2 =z-
Значит система имеет бесконечно много решений, или не имеет ни одного при любом а
Е'nW&@Ш~о@@Ш
1 k1 =k2 =z-
Значит система имеет бесконечно много решений, или не имеет ни одного при любом а Ответ:а Е 0.
с}
{:JJ
k,~wГ:\ Q Q ~ rr:J(o'\M ~~::~~~е~~е~@~~~
13
:r-~~@Ш~о@@Ш
у= 2-
9
х =½(у-6) =½(-з¼) = -1¾.
Ответ: (-1¾; 2¾). б}
+г::=~;~:~~;О,
-бу + 13 = О;
1
:,:,~i~@Ш~о@@Ш
а}
-{:;:~=~:~;
О =5; т.е.системанеимеетрешений. Ответ:0.
,}
[2x-y+l,5=0,
- 5
~:~Ш~о@@Ш
б}
( у=-14 ~у=-14
х -6· 14-2; = 8, х- 2z = 92,
x+4·14-z=-2; -z=-58;
(у=-14. ~у=-14
Z= -150, Z= -150,
x=z-58; =-208.
Ответ:{-2:08;-14;-150). а}
(-4х-2у=-10, ( 2x+y=S, ( 2х+у=5, (2x+y=S,
4х-Зу+5z=2, -Sy+Sz=-8, -20y+20z=-32, 5y-5z=8,
г ,·-:1~ -~·-·-" ,,.,_, __ "°' ,,,,_,.
"}
[email protected]
,}
r;у-!з::=_:· {\;~;/==В~·
lзy+7z=B;, -зу+z=;;
{х-у+,~б, {x-r+,~6
Зу+7z~8, у=з(8-7z)
Bz = 93; z = 1¼
15
б}
rx- З = 2{у+ 3), l х =у- 2; т.е.задача не имеет решений.
fY=-11<0, l х = у- 2;
14, х +у= 6;
+{_~;~~~=~i2;
-х = -4;
х = 4. у=19-х=15. Ответ:4свиньи,15гусей.
Дополнения к гиаве Ш
1
у =з(б-х);
Честное решение (О; 2}, тогда общее решение:
ьх==2~k; kEZ е}
1
у= -7(х + 12);
Честное решение (1; -3), тогда общее решение:
ьх == !//:k; k Е z.
д}
1
у= 5(14 - 2х);
Честное решение (2; 2}, тогда общее решение:
G=~~~:; к с г.
е}
а}
{//iу:;;~~-
Ответ:всехвозможныхтроекSб: (1; 1;8), (1;2;7),(1;3;6) .. (8; 1; 1}. б}
[~f@;~~@@W
4х+8у=60; х+2у=15; y=z(lS-x). Честное решение (1; 7}, тогда общее решение:
rx = 1 +2п,
ly=7-n; nEN.
Ответ:(1;7},{3;6},(5;5},{7;4},{9;3},(11;2),(13;1).
3
1~!.c~J;if1л~Q Q ~ ГгJ@)М ~iee,(4rsw~c_Qj~o\_2=) о ш
{-8:;/-=5; {z;:~з; ~X==/s.
Ответ:{1;6,5}. с)
{бх ~ :а i:, 18; {{х: ~26; {~: ~~:
Ответ:(11;12). д)
{sx J 1:: 26; {s~ : :~; {f == 2\
Ответ:{2,4;7}. е)
{-48: ;у-~·-22; {;у== -;i; {;: ~::
Ответ:{---6;13) ж)
( х ~ -5, rx ~ -5, (х ~ --;5· l-lO+Зy=-8; lЗу=2; у=з·
Ответ: (-s; ¾)-
х)
( х~-4, ( х~-4, ~~-4
~:е
[email protected] ~xl~ Q@@Ш
х = -3, х = -3, 1 1
-3-6у=10, бу=-13, у=-Zб, у=-26·
t-12-y+2z=18; t-y+2z=30; 5 { 11
2z = 216; z = 1з12.
Ответ: (-з; -2¼; 1зН),1
( х~-в. (х~-в. (х~-в.
-8+6у=-2, бу=б, y=l,
16+4у-6=8; 4у=-2; у=-0,5. Ответ:Ф.
,1
( х~б, ( х~б, ( х~б, ( х~б,
48 - lOy = 16, 10у = 32, у= 3,2, у= 3,2,
12-4y+z=-4; 4y-z=16; 12,8-z=lб; z=-3,2. Ответ:(---6; 3,2; -3,2}.
(м) х ~ 5, ( х ~ 5, ( х ~ 5,
10-5у=15, Sy=-5, у=-1,
-5-2у+5=10; -2у=10; у=-5. Ответ:0.
4
(~y~ffi(fiW ~ о@@Ш
Ответ:(23; 29; 4; 2) а}
{x=-4y-3z+2u+8, rx=-58,
у= 4z- Su-4, у= 14,
Z=2, Z= 2,
U=-2; U=-2.
Г~~&(@П) ~ о@@Ш
Ответ:(2; -7; -1; 7} д}
{х = -у+ Зz+.Su+ 7,
1 ~~щ
у=- Зz-u+lS), =9,
-_ • :_ о о
~,е,11& Ш ~ о@@Ш
13 а}2,52=6,25;
б}Ш' ~-t;;
;~&@Ш~о@@Ш
ж}117=1.
{х~4у=В, (х+4у=8. {x=l~.
9у=-15; y=l¾; y=ll
i¾)- з·
Ответ: (1½; ,1
rx + 2у = -3,
l Sy= -2; Ответ:{-2,2;---0,4) д)
{\:: ~:, {: :Y2;s~· {~: ~:~~:
Ответ:(2,75;2,25}. е)
{х-2у=12, (х-2у=612, {у=-4;,
7Х=20; Х=27; X=l;.
Ответ: { 2%; -4;).
i',,&f@~Д) f:i"
[email protected]
7 16 5 17
Ответ: (з17; Sl7; 5-17-).
а)
(x+y+z=6, Зх = 14,
2х -Sy= 10;
{х+у+z=б, 2х-5у = 10, 2
х = 43;
Ответ: {4¾; -~; 1is)-
"I
(-x+y+2z=10, r-x+y+2z=10,
-y+z=lO, -y+z=lO,
у+ 2z = 11; z = 7;
Ответ:(1: -3; 7).
")
(' ~1,
у= -3, Z= 7.
14 6}71,7,53,11; в}13,83;
~Iilll&@Ш~o@@Ш
з}563, 101.
15 6}2.·39; в}22·37;
~I:f&@Ш~о@®Ш
з}27·7.
16
а}s'-з'; 6}22·3'·5;
I~,:~:J~@ Ш ~ о@@Ш
з}2"·29.
§2. РациональныечиСJ1а
2
li~mбiS~~o@@Ш
§3.Действительныечисла
3 6}720;
~,, , ~:Q Q ~ ~ ГгJ@)М е)62~4 ~~о~о~ ш
а) - 7,85; -6,1(9); 0,2(3); ¼; ½; 0,3(34);
')~~;/r.;Qw~ rr:J@)M ::=t:5-~~c~'~ о~ О Ш
5
:;1~4,:7'2,~69{9;с~=;~8б{~)с-, QlЗ{' ~ @@Ш
в}8, 1) 4t1,85149- 366~4(5}; О
г)45,89 1,1~7 = 1, -~2. И Q
6
,)-~9 ·'-+з,7б~~+~l'J- +18·5+:6~1~ "Ч• @
:;,:/,,,,· Лз~9; :: ~ @М
г) 0,0 - ,9_ -3 9 . Q Q Ш
8
а}98,377"" 98,4;
:!:?:~t\ Q ~ ~ ГгJ@)М :i:}4~w~o~o~ ш
Дополнения кrлilвel
4 а}З!=б;
~{t?~@Ш~о@@Ш
§4.Одночлены
г) (0,8 - 1,6 + 0,56 + 3,8) : Н + f;:) 12-11 · 0,2
3,56 '*=~= 35,6 =~ 2,4· 11 2,4-11· 19 209 1045'
5
a2-2ah+b2 (а-Ь)2 а-Ь 1,2 З
а) ,а'-Ь' , -(а-Ь)(а+ь)- а+:-~2,а-,·
б) ь = .
Ь)' ~D: ' : tJ_
ь :;+;; ~ з·
а}
х+З+4=2х-З; Х=10. х+ 2х = Зх = 30.
Ответ: зп у-еников.
:}
[email protected]Ш~о@@Ш
а}
В новом сплаве массой х + у г содержится О,4х + О,бу г меди. Ответ: О,4х + О,бу · 100%.
х+у
7
б)¾аь'с'; в)За'х'у'z';
tit&iП)~o@@Ш
~) Зх у + Sx у'; k, = 3; k, = 5;
к} 27аЬ'; k = 27.
б}~(ЗаЬ'-¾}: в}faxyz(12ay'+x'}; r)z(a+b}; д)Sa'b-8abc=ab{Sa-8c}; е)2а'Ь;
l1f&@Ш~о@@Ш
м)-14х;
н)-14х'; о}-а'{2у'+Зу'+у"}=-а'у'{2у+З+у•};
9 6}24a4x"v'z";
]lt&@Ш~о@@Ш
з}3ху.
5
i!~~~ro)~o@@Ш
§5.Мноrочлены
3
:;~/t\Сс8~~о@@Ш
б)~«\2,',Гп'J ~ с;; ГrJ~~ a)lj'L2)0~\\m\Г1) D } (Lr]('\\'--")\ о)~ tj ~
5
б}(x'-l)(x'+l)={x-l)(x+ l)(x'+t); в}х'-Зх-4х+12=(х-З}(х-4);
;i'~{:';';:roз}::{v:-.2v;=}:,{~~:v·:н::~'}; @@Ш
е}{а Ь ч-» Ь с} с}; D р
ж}х4 4х' 44- х •1= 2+22 - у' + lm'+ ху,
з}(х'' '= + 2 U
~) n(n2+3n + 2) = n(n' + n + 2n + 2) = n{n -1-{}(п + 2}
7 б}
~:1:ь расстояние между В и С равно х км. Тогда скорость пешехода ~ км/ч, а велосипедиста ----;- км/ч.Поусловию:
:/JJм,а~·сс;,~з,rr::т0м "'"~~~~,~D~~ш
1
24(х+ 2,5) + 1,8(х- 2,5) = 52; 4,05х = 50,875; х"" 12,56.
Ответ:12,Sбкм/ч.
а}-7х-9; 6}13х+43; в}-29х'+26х;
;/'з:·67~,, .,, СВШ~ @@Ш
:!}~9 ~:' з8':t1\, . D O О
з)1s'' '' 1'
и)а'+а3Ь+а2+2а2Ь+2аЬ+2аЬ2+аЬ'+Ь'+Ь2• к)а'Ьс-а'Ь'с+а'Ь4с+2а4Ь2с-2аЬ4с+2а2Ь'с-'за•ьс+ЗаЬ'с-За2Ь4с.
10
;\'~:::-,,:~'":;з:;~841;,;:~7~9;,043 ;~ @@Ш
в}О, -,7=/f), 025 = ,4~7; о
r)7,2 - 6 =,-3, -1 б= ,2bl. Q
§6. Формулы сокращенноrо умноження
2
а} (70 + 1)2 4900+ 140+ 1 = 5041; б} (90+ 1}2 8100+ 180+ 1 = 8281;
;;~(70-1(,, ,,oo~~4~Q;lc:7бiru, . ~ @@Ш
д) )'= 5 О 2 + 04,
е)(80 ,=6480 8 + =7 25 О Q О
ж}(З + =9 , + 25= 2 ;
з} (60 + 5} = 3600 + 600 + 25 = 4225; ~)(12.0+5)2=14400+ 1200+25=15625.
5
ii{~ffl(~ JD)~ п~(о)м
7 a}(Sa-2b)(2Sa'+10a~+4'·
:;~~,:} QD ~ ГrJ(o)M ,11s,/;'~1~-;~,~ ,4, ~ И)~О~ uI___li
9
::W~2p~:rn~ п~(о)м
8
i1~&~m~JcJo)м
§7.Алrебраическиедроби
3
а)х~ у; х+З б)х+i;
4
х'
im@
[email protected]
х2 -3 9,25 11
а)х+З=б,5= 126;
0,022 0.0004 1
б) 0,022 - 4 = -3,9996 = - 9999; 1,42 + 2-1,4· 3,5 11,76
в) 35+14 ~:Z,4;
:~~~~~~~~®Ш
5-7·8+2 0,2-56+2 -53,8 1345'
-22+6·2·0,2+2·0,2 -4+2,4+0,4 -1,2
е) 2·22+3·0,2-2 8+0,6-2 6,6
11
а} Выражение определено при всех а, Ь, кроме а -Ь б} Выражение определено при всех а, Ь, кроме Ь = О.
8
:;~:::-,ю~'·;_:,::@·, Го)~ @@Ш
в}а, - 1\Ь,ч к =
;)а, - ю "''ii'" а,,р Ь D Q о
§8. Степень с целым покilзателем
1 а}а9; б}а-'; в}а1; г)а-2; д)а'; е)а';
!i~&@П)~о@@Ш
м)а4;
н)lS (N) • ~ 15 (f)'
о}22·3'=3(2 ·З)'=З·б'; п}62·3'=18';
р)Б=а(¾)6
9
:!~f\(С?\т~п~(о)м
а}З,467·10; б}З,45· 10';
в}7,865·10'; 11=3;
r)2,34·105;
::rfij(:\ бЬ Q ~ ГгJ@)М :i:~i~w~c_Qj~o~ о ш
к}l,2007 ·10'; n=4;
11) 1,459· 10'; n=З;
м)9,87599·10';
3 a}126,7·1012=12,67·1013;n=13.
6} 0,000678 · 10" = 6,78 · 10..-"'4 с/= 5,678 · 105; n Е 0.
;;о·~': :iro·"~;":.·~10" .. ~=-"'·w ~ @@Ш
д)9, '·1., .. -,; 9,j7 1~-•;' -~;пjJ о
:!}s;,4 1 --s_ .. 11,,._,_ = ~- - .. =-. Q
з} 1,9566· 10"=1,9566· 10-"; n=-8.
4
а}7,054; 6}8,768·107;
~}i?Ш@Ш~о@@Ш
з}2,166·104•
а} 111,474 · 10-ш = 1,11474 · 10-"; 6}40,9(45);
;;o·ii~ ,?~,'Q Q ~ ГгJ@)М ;};~ы1~с_О)~о~ о ш
з}17,92·10"=1,792·1010•
6
а}~· ООО~~~ ~~м
б} , О 4 245 О ·1 _,: ,4 · 2 ~ , 6122 1 _, о, ;
в}245 :~о б 4 10 :~б 1 ) , з?{ 1" з~о' t;-;j
7 б}
?q,f.(~'d;'~~:~1~. -
х(~~~~~~~~
= (х+2)(х-З) (х-5){11-2х) =х-х=О.
Значит тождество верно при всех допустимых значениях х, т.е. при х * -2; З; 5; 5,5.
2х2-2ху+ху-у2 2х2-ху-у2
а) 6(х+у) ~;
:\'(x'":'+=+Y."',:'::+'::': __ ):,.:(:":':-_x_'x~=i=-"'9x' ,":\}1~~ш
xz-xy+y2
Дополнения кrлilвell
3
[W~@~ ~
[email protected]
4
а}/.з,',s,-9°/-/,4/-4,,9,-9°/(,-1}<4,{,~1 ,9,~1 с(,-~/Нн9};
б}~,rд· 5°~Н- rh)" '~•2',S,' 5°
=х 2+ - "!А' 1) х4 ' + '( +1 + + )=(х' 1) х + +2.х 5)
а},' 2 - ''t ,' 2 4, - ,1);,6 ,'( r::JI • • ,(;}( } ' 4 Н}.
10 а}24=16;
J:fw@@Ш~o@@Ш
f(x2 +х -1)" - (х2 - х + 1)3" = х(х - l)Q(x) +ах+ Ь, lax+b = О;
fa +ь = P(l) = о,
lb =Р(О) = (-1)"-1,
(~~I: 'i,:,
[email protected]тro) ~ 0@@Ш
\{ах+ Ь = 2х - 2, если п - нечетное,
l ах+ Ь = О.
Ответ:n-всечетныечисла.
ГЛАВА 111. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§9. Линейные уравнения с одним неизвестным
а}Являются,х=-1,5.
б}Неявляются, х+4-Зх 6; -2х=2; х=-1*-2.
в}Неявляются,
iii:~П) ~ о@@Ш
' ' 11'
д)Являются,
2х-8=2х+8; О 16; хЕФ; Ох-4=0; --4=0; е)Неявляются, 2x+S-x-6=0;
Зх-1=0; Зх=l;
3 а}х=-4 б}х=12. в}х=-2.
::'~:=:5;;~,сс~-.: Q ~ ~ ~@М
ж}S;' ',l~O~Q~ Ш
з}45х= ; х=
;i)10x=-~; x=-fo-.
а}---4х+х+2х=-7+9-5; -х -3; х=З. 6}2х=-7; х=-3,5.
в}7х=11; х=1~.
J~Jf~h;u(;;y;:;~ ~ ~@)М ~}';i .. ~:bl'~~~o~ О Ш
' ' '
з}2х-7х=4· 14; -5х=56; х=-11,2.
и) 12х-5х=-7· 20; 7х=-7· 20; х=-20.
5
a}S 8; хЕФ. б}х О.
Ii&(~П) ~ о@@Ш
з}Зх-16=9х+ 18; бх=-34; х= -s;.
6
б}~m'"~-·~· ,,~ ~(о)м
в} х- 4· = 7· ет с ·1
r)2(x х+4 =~; х ~ 4; х=З~= 5 т .. 1~ 1 О tj
7
б}х+х+ 1=23; 2х=22:; х= 11. Ответ: 11; 12.
е}~~сЗ~· с .О . ·20.~ @@Ш
С}< ;€cl; ,а ; ,
д)х+ + = 5;2х 4; 2. тетl*; 3. Q О
е)х+ + 1; х= х= . вет:15· б.
